Доверительный интервал

АвторOleh Soloninобновлено 27 сентября 2026 г.

Среднее по выборке

Стандартное отклонение

Размер выборки

Уровень доверия, %

Откуда отклонение

Отклонение, посчитанное по той же выборке, требует t-распределения при любом n; z — только если отклонение всей совокупности известно заранее.

Результат

Интервал94,3989 … 105,6011
Нижняя граница94,398908
Верхняя граница105,601092
Предельная ошибка5,601092
Стандартная ошибка2,738613
Критическое значение2,0452
Распределениеt, 29 степеней свободы

Насколько точно выборка оценивает генеральное среднее

Границы интервала по среднему, стандартному отклонению и размеру выборки, а также предельная ошибка и стандартная ошибка среднего.

Выборочное среднее почти никогда не совпадает с истинным средним всей совокупности. Доверительный интервал строится так, что при многократном повторении выборки заданная доля таких интервалов — например, 95 процентов — накроет истинное среднее. Про один конкретный интервал вероятность не говорит: он либо накрыл среднее, либо нет.

Ширина интервала обратно пропорциональна корню из размера выборки. Это значит, что для вдвое более узкого интервала нужно вчетверо больше наблюдений — фундаментальное ограничение, из-за которого большие опросы стоят так дорого.

Как пользоваться

Введите среднее по выборке, стандартное отклонение и размер выборки.
Выберите уровень доверия: 90, 95 или 99 процентов.
Прочитайте границы интервала, предельную ошибку и стандартную ошибку среднего.

Почему интервал сужается только как корень

Стандартная ошибка равна отклонению, делённому на корень из размера выборки. При отклонении 15 и выборке 30 это 2,74. Отклонение посчитано по выборке, поэтому множитель — t с 29 степенями свободы, 2,045, и предельная ошибка при 95 процентах — 5,60: интервал от 94,40 до 105,60. Будь отклонение совокупности известно заранее, множитель z = 1,96 дал бы 5,37.

Корень в знаменателе означает, что для вдвое более узкого интервала нужна вчетверо большая выборка. Это главная причина, по которой точные опросы дороги: 100 человек дают ошибку вдвое меньшую, чем 25, а не вчетверо.

Среднее 100, стандартное отклонение 15 по выборке, t-распределение. Посчитано этим калькулятором.
Размер выборки	Стандартная ошибка	Предельная ошибка при 95 %	Интервал
30	2,74	5,60	94,40 … 105,60
100	1,50	2,98	97,02 … 102,98
400	0,75	1,47	98,53 … 101,47

Что показывает калькулятор

Нижнюю и верхнюю границы интервала
Предельную ошибку и стандартную ошибку среднего
Критическое значение t или z для выбранного уровня доверия

Что важно учитывать

Если отклонение посчитано по самой выборке, интервал строится по t-распределению Стьюдента с n − 1 степенями свободы при любом n; z берётся, только когда отклонение совокупности известно заранее.
Интервал для среднего опирается на нормальность: при малой выборке сами данные должны быть близки к нормальным, при большой среднее приближается к нормальному и без этого — если наблюдения независимы, а дисперсия конечна. Тяжёлые хвосты и зависимые данные требуют осторожности.

Частые вопросы

Что означает 95-процентный интервал?

Что при многократном повторении эксперимента 95 процентов таких интервалов накроют истинное среднее. Это утверждение о процедуре, а не о вероятности для конкретного интервала.

Как сузить доверительный интервал?

Увеличить выборку — ширина падает как корень из n. Снижение уровня доверия тоже сужает интервал, но ценой большей вероятности ошибки.

Когда нужно t-распределение вместо z?

Всегда, когда отклонение оценено по самой выборке, — при любом её размере; калькулятор так и считает по умолчанию. z подходит, только если отклонение совокупности известно заранее. Интервал по t шире: при n = 30 множитель 2,045 вместо 1,96.

Как связаны интервал и p-значение?

Через соответствующий двусторонний тест с той же моделью и допущениями: если 95-процентный интервал не содержит нулевое значение, этот тест даёт p меньше 0,05. Это два взгляда на один и тот же результат.

Что такое доверительный интервал в 95 процентов?

Интервал, построенный так, что при многократном повторении опыта 95 процентов таких интервалов накроют истинное среднее. Для среднего 100, отклонения 15 по выборке и n = 30 это от 94,40 до 105,60.

Как сузить интервал вдвое?

Увеличить выборку вчетверо: ошибка убывает как корень из её размера. С 30 наблюдений до 120 предельная ошибка упадёт с 5,60 до 2,71: чуть больше чем вдвое, потому что уменьшается и множитель t.

Можно ли сказать, что истинное среднее лежит внутри с вероятностью 95 %?

Строго говоря, нет: истинное среднее — постоянная величина, а случаен интервал. Вероятность относится к процедуре построения, а не к конкретной паре чисел.

Мини-пример расчёта

Выборка из тридцати наблюдений

Входные данные: Среднее 100, отклонение 15, n = 30, доверие 95%

Результат: Интервал 94,40 … 105,60

Комментарий: Предельная ошибка 5,60 по t с 29 степенями свободы. При ста двадцати наблюдениях она упала бы до 2,71 — чуть меньше половины, потому что с ростом выборки уменьшается и множитель t.

Полезные переходы

Все инструменты раздела Математика и статистика

Доверительный интервал

Результат

Связанные инструменты

Калькулятор p-значения

Калькулятор z-оценки

Калькулятор стандартного отклонения

Полезные переходы