Арифметическая прогрессия: n-й член и сумма

АвторOleh Soloninобновлено 27 сентября 2026 г.

Что известно

Первый член a₁

Разность d

Номер члена n

Результат

n-й член48
Сумма первых n255
Сумма по формулеS₁₀ = (3 + 48) ÷ 2 × 10 = 255
Среднее членов25,5
Формулаa₁₀ = 3 + (10 − 1) × 5 = 48
Первые члены3, 8, 13, 18, 23
Характервозрастающая

Каждый следующий больше на одно и то же

Любой член арифметической прогрессии и сумма первых n членов по первому члену и разности, а также обратные задачи: разность по двум членам и номер члена по значению — с формулами.

Арифметическая прогрессия — последовательность, где каждый следующий член отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Зарплата с фиксированной прибавкой, ряды кресел в зале, дни в календаре — всё это она.

Если сложить первый член с последним, второй с предпоследним и так далее, каждая пара даст одно и то же число. Поэтому сумма равна полусумме крайних членов, умноженной на количество.

Как пользоваться

Выберите, что известно: первый член и разность, два любых члена или значение члена, номер которого нужно найти.
Введите данные и номер n — калькулятор найдёт n-й член и сумму первых n членов.
Посмотрите решение и формулы с подставленными числами.

Формула суммы и почему она работает

Для прогрессии с первым членом 3 и разностью 5 десятый член равен 3 + 9 × 5 = 48, а сумма первых десяти — 255. Сумма считается как полусумма крайних членов, умноженная на их количество: (3 + 48) ÷ 2 × 10.

Приём приписывают Гауссу: если выписать ряд дважды, во второй раз задом наперёд, и сложить парами, каждая пара даст одно и то же число. Отсюда и формула, и то, что среднее арифметическое ряда равно полусумме крайних членов — здесь 25,5.

Первый член 3, разность 5. Посчитано этим калькулятором.
n	n-й член	Сумма первых n
1	3	3
5	23	65
10	48	255
20	98	1 010

Формулы арифметической прогрессии

n-й член: aₙ = a₁ + (n − 1) · d. Сумма первых n членов: Sₙ = (a₁ + aₙ) ÷ 2 · n, или Sₙ = (2a₁ + (n − 1) · d) ÷ 2 · n. Для a₁ = 3 и d = 5: a₁₀ = 3 + 9 · 5 = 48, S₁₀ = (3 + 48) ÷ 2 · 10 = 255.

Разность по двум членам: d = (aₘ − aₖ) ÷ (m − k). Если a₃ = 13 и a₇ = 33, то d = 20 ÷ 4 = 5, а a₁ = 13 − 2 · 5 = 3. Номер члена по значению при d ≠ 0: n = (aₙ − a₁) ÷ d + 1; число — член прогрессии, только если n получилось натуральным. При d = 0 все члены равны a₁, и номер по значению не определить.

Что показывает калькулятор

N-й член прогрессии и сумму первых n членов
Среднее значение членов — оно равно полусумме крайних
Первые члены ряда и его характер: возрастающий или убывающий

Что важно учитывать

Нумерация начинается с первого члена, а не с нулевого: a₁ — это то, что вы ввели.
Разность может быть отрицательной и дробной, формулы от этого не меняются.

Частые вопросы

Как найти разность, если известны два члена?

Разделить разность значений на разность номеров. Если a₃ = 13, а a₇ = 33, то d = (33 − 13) ÷ (7 − 3) = 5.

Что такое характеристическое свойство прогрессии?

Каждый член, кроме крайних, равен среднему арифметическому соседей. Это удобный способ проверить, действительно ли последовательность арифметическая.

Как быстро сложить числа от 1 до 100?

Это прогрессия с a₁ = 1, d = 1, n = 100. Сумма равна (1 + 100) ÷ 2 × 100 = 5050 — по известному рассказу, так сложил эти числа юный Гаусс.

Чем она отличается от геометрической?

В арифметической к каждому члену прибавляют одно и то же, в геометрической — умножают на одно и то же. Первая растёт линейно, вторая экспоненциально.

Как найти десятый член прогрессии 3, 8, 13?

48: к первому члену прибавляют девять разностей, 3 + 9 × 5. Сумма первых десяти членов при этом равна 255.

Мини-пример расчёта

Прогрессия 3, 8, 13, …

Входные данные: a₁ = 3, d = 5, n = 10

Результат: a₁₀ = 48, сумма 255

Комментарий: Проверка по Гауссу: (3 + 48) ÷ 2 × 10 = 255. Среднее значение членов равно 25,5 — ровно полусумме первого и последнего.

Полезные переходы

Все инструменты раздела Математика и статистика

Арифметическая прогрессия: n-й член и сумма

Результат

Связанные инструменты

Геометрическая прогрессия и сумма ряда

Среднее арифметическое чисел

Решение линейного уравнения

Полезные переходы