Геометрическая прогрессия и сумма ряда

Q: Когда бесконечная сумма конечна?

Когда модуль знаменателя меньше единицы. Тогда S = b₁ / (1 − q). Для 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … сумма равна ровно 2.

Q: Как связана прогрессия со сложными процентами?

Напрямую: вклад под 10 процентов годовых — это прогрессия со знаменателем 1,1. Если первый член — сумма в начале, то через n лет на счёте (n + 1)-й член, b₁ · qⁿ: формула сложных процентов — это формула члена прогрессии со сдвигом номера на единицу.

Q: Что такое парадокс Зенона?

Рассуждение, что Ахиллес не догонит черепаху, потому что нужно пройти бесконечно много отрезков. Сумма этих отрезков — сходящаяся геометрическая прогрессия, то есть конечное расстояние за конечное время.

Q: Может ли знаменатель быть отрицательным?

Да, тогда знаки членов чередуются. Ряд всё равно сходится, если модуль знаменателя меньше единицы, и формула суммы работает без изменений.

Q: Чему равен восьмой член прогрессии 2, 6, 18?

4 374: первый член умножается на знаменатель семь раз, 2 × 3⁷. Сумма первых восьми членов равна 6 560.

АвторOleh Soloninобновлено 27 сентября 2026 г.

Что известно

Первый член b₁

Знаменатель q

Номер члена n

Результат

n-й член4 374
Сумма первых n6 560
Сумма по формулеS₈ = 2 × (3⁸ − 1) ÷ (3 − 1) = 6560
Сумма бесконечного рядаряд расходится
Формулаb₈ = 2 × 3⁷ = 4374
Первые члены2, 6, 18, 54, 162
Поведение рядарастёт по модулю

Каждый следующий больше во столько же раз

n-й член и сумма первых n членов геометрической прогрессии, сумма бесконечно убывающей прогрессии, а также знаменатель по двум членам и номер члена по значению — с формулами.

В геометрической прогрессии каждый член получается умножением предыдущего на постоянный множитель. Так растут вклад со сложными процентами, популяция бактерий и, к сожалению, долг по кредиту с капитализацией.

Самое интересное здесь — бесконечная сумма. Если знаменатель по модулю меньше единицы, члены убывают достаточно быстро, и бесконечный ряд даёт конечное число. Именно этот факт разрешает парадокс Зенона про Ахиллеса и черепаху.

Как пользоваться

Выберите, что известно: первый член и знаменатель, два любых члена или значение члена, номер которого нужно найти.
Введите данные и номер n — калькулятор найдёт n-й член, сумму первых n членов и сумму бесконечного ряда, если он сходится.
Посмотрите решение и формулы с подставленными числами.

Когда ряд сходится, а когда улетает

Для прогрессии с первым членом 2 и знаменателем 3 восьмой член равен 4 374, а сумма восьми членов — 6 560. Рост здесь взрывной: каждый следующий член втрое больше предыдущего.

Знаменатель по модулю меньше единицы меняет картину: ряд сходится, и бесконечная сумма конечна. Для первого члена 2 и знаменателя 0,5 она равна 4 — сколько членов ни добавляй, сумма не перешагнёт это число.

Первый член 2. Посчитано этим калькулятором.
Знаменатель	Восьмой член	Сумма восьми	Сумма бесконечного ряда
3	4 374	6 560	расходится
2	256	510	расходится
0,5	0,015625	3,9844	4

Формулы геометрической прогрессии

n-й член: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. Сумма первых n членов: Sₙ = b₁ · (qⁿ − 1) ÷ (q − 1) при q ≠ 1. Для b₁ = 2 и q = 3: b₈ = 2 · 3⁷ = 4374, S₈ = 2 · (3⁸ − 1) ÷ (3 − 1) = 6560.

Сумма бесконечно убывающей прогрессии, когда |q| < 1: S = b₁ ÷ (1 − q). Для b₁ = 1 и q = 0,5 сумма равна 2.

Знаменатель по двум членам: qᵐ⁻ᵏ = bₘ ÷ bₖ. Если b₂ = 6 и b₅ = 162, то q³ = 27, q = 3, b₁ = 2. При чётной разности номеров подходит и отрицательный знаменатель: из b₂ = 6 и b₄ = 54 следует q = 3 или q = −3.

Что показывает калькулятор

N-й член и сумму первых n членов
Сумму бесконечного ряда, если он сходится
Первые члены и характер роста

Что важно учитывать

Знаменатель не может быть нулём: тогда последовательность обрывается после первого члена.
Бесконечная сумма существует только при |q| < 1; в остальных случаях ряд расходится, и калькулятор так и пишет.

Частые вопросы

Когда бесконечная сумма конечна?

Когда модуль знаменателя меньше единицы. Тогда S = b₁ / (1 − q). Для 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … сумма равна ровно 2.

Как связана прогрессия со сложными процентами?

Напрямую: вклад под 10 процентов годовых — это прогрессия со знаменателем 1,1. Если первый член — сумма в начале, то через n лет на счёте (n + 1)-й член, b₁ · qⁿ: формула сложных процентов — это формула члена прогрессии со сдвигом номера на единицу.

Что такое парадокс Зенона?

Рассуждение, что Ахиллес не догонит черепаху, потому что нужно пройти бесконечно много отрезков. Сумма этих отрезков — сходящаяся геометрическая прогрессия, то есть конечное расстояние за конечное время.

Может ли знаменатель быть отрицательным?

Да, тогда знаки членов чередуются. Ряд всё равно сходится, если модуль знаменателя меньше единицы, и формула суммы работает без изменений.

Чему равен восьмой член прогрессии 2, 6, 18?

4 374: первый член умножается на знаменатель семь раз, 2 × 3⁷. Сумма первых восьми членов равна 6 560.

Мини-пример расчёта

Прогрессия 2, 6, 18, …

Входные данные: b₁ = 2, q = 3, n = 8

Результат: b₈ = 4374, сумма 6560

Комментарий: Восьмой член уже больше четырёх тысяч — это и есть экспоненциальный рост. При знаменателе 0,5 та же прогрессия сходилась бы к сумме 4.

Полезные переходы

Все инструменты раздела Математика и статистика

Геометрическая прогрессия и сумма ряда

Результат

Связанные инструменты

Арифметическая прогрессия: n-й член и сумма

Калькулятор сложного процента

Калькулятор степени

Полезные переходы