Геометрическая прогрессия

Q: Когда бесконечная сумма конечна?

Когда модуль знаменателя меньше единицы. Тогда S = b₁ / (1 − q). Для 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … сумма равна ровно 2.

Q: Как связана прогрессия со сложными процентами?

Напрямую: вклад под 10 процентов годовых — это прогрессия со знаменателем 1,1. N-й член равен сумме через n лет, а формула сложных процентов и есть формула n-го члена.

Q: Что такое парадокс Зенона?

Рассуждение, что Ахиллес не догонит черепаху, потому что нужно пройти бесконечно много отрезков. Сумма этих отрезков — сходящаяся геометрическая прогрессия, то есть конечное расстояние за конечное время.

Q: Может ли знаменатель быть отрицательным?

Да, тогда знаки членов чередуются. Ряд всё равно сходится, если модуль знаменателя меньше единицы, и формула суммы работает без изменений.

Первый член b₁

Знаменатель q

Номер члена n

Результат

n-й член4 374
Сумма первых n6 560
Сумма бесконечного рядаряд расходится
Формулаb8 = 2 × 3^7
Первые члены2, 6, 18, 54, 162
Поведение рядарастёт по модулю

Каждый следующий больше во столько же раз

N-й член, сумма первых n членов и сумма бесконечно убывающего ряда, когда он сходится.

В геометрической прогрессии каждый член получается умножением предыдущего на постоянный множитель. Так растут вклад со сложными процентами, популяция бактерий и, к сожалению, долг по кредиту с капитализацией.

Самое интересное здесь — бесконечная сумма. Если знаменатель по модулю меньше единицы, члены убывают достаточно быстро, и бесконечный ряд даёт конечное число. Именно этот факт разрешает парадокс Зенона про Ахиллеса и черепаху.

Что показывает калькулятор

N-й член и сумму первых n членов
Сумму бесконечного ряда, если он сходится
Первые члены и характер роста

Что важно учитывать

Знаменатель не может быть нулём: тогда последовательность обрывается после первого члена.
Бесконечная сумма существует только при |q| < 1; в остальных случаях ряд расходится, и калькулятор так и пишет.

Частые вопросы

Когда бесконечная сумма конечна?

Когда модуль знаменателя меньше единицы. Тогда S = b₁ / (1 − q). Для 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + … сумма равна ровно 2.

Как связана прогрессия со сложными процентами?

Напрямую: вклад под 10 процентов годовых — это прогрессия со знаменателем 1,1. N-й член равен сумме через n лет, а формула сложных процентов и есть формула n-го члена.

Что такое парадокс Зенона?

Рассуждение, что Ахиллес не догонит черепаху, потому что нужно пройти бесконечно много отрезков. Сумма этих отрезков — сходящаяся геометрическая прогрессия, то есть конечное расстояние за конечное время.

Может ли знаменатель быть отрицательным?

Да, тогда знаки членов чередуются. Ряд всё равно сходится, если модуль знаменателя меньше единицы, и формула суммы работает без изменений.

Мини-пример расчёта

Прогрессия 2, 6, 18, …

Входные данные: b₁ = 2, q = 3, n = 8

Результат: b₈ = 4374, сумма 6560

Комментарий: Восьмой член уже больше четырёх тысяч — это и есть экспоненциальный рост. При знаменателе 0,5 та же прогрессия сходилась бы к сумме 4.

Полезные переходы

Все инструменты раздела Математика и статистика

Геометрическая прогрессия

Результат

Связанные инструменты

Арифметическая прогрессия

Калькулятор сложного процента: будущая стоимость и начисленные проценты

Калькулятор степени

Полезные переходы