Der goldene Schnitt teilt eine Strecke so, dass sich das Ganze zum größeren Abschnitt verhält wie der größere zum kleineren. Aus 100 werden dabei 61,80 und 38,20. Der Faktor heißt φ und ist (1 + √5) / 2 = 1,6180339887… Dieser Rechner geht in beide Richtungen: Sie geben das Ganze ein und erhalten Major und Minor, oder Sie geben einen der beiden Abschnitte ein und erhalten die ganze Strecke zurück.
φ ist die einzige positive Zahl, bei der φ − 1/φ genau eins ergibt: 1,6180339887 minus 0,6180339887. Daraus folgt φ² = φ + 1 = 2,6180339887, und genau darauf beruht die dritte Eingabemöglichkeit. Ist nur der kleinere Abschnitt bekannt, wird er mit 2,618 multipliziert, nicht mit 1,618 — wer nur einmal multipliziert, landet beim größeren Abschnitt und hält ihn irrtümlich für die ganze Strecke.
Welchen der drei Werte haben Sie eigentlich in der Hand?
Der häufigste Fehler passiert vor der Rechnung, nicht in ihr: Man weiß nicht genau, welchen der drei Werte man schon besitzt. Ein Regalbrett von 80 Zentimetern soll der größere Abschnitt sein — dann misst die ganze Strecke 80 × 1,618 = 129,44 Zentimeter und der kleinere Teil 49,44. Wer stattdessen 80 : 1,618 rechnet, bekommt ebenfalls 49,44 und hält diese Zahl für das Ganze. Beide Wege liefern dieselbe Zahl und meinen doch Verschiedenes: Die Division führt eine Stufe nach unten, zum kleineren Nachbarn, die Multiplikation eine Stufe nach oben.
Deshalb fragt das Auswahlfeld zuerst, was der eingetragene Wert bedeutet, und rechnet erst danach. Die Zeile „Probe“ rechnet das Ergebnis zurück und stellt die beiden Verhältnisse nebeneinander — Ganzes zu Major und Major zu Minor. Stimmen sie überein, war die Auswahl richtig; weichen sie ab, haben Sie die falsche Rolle angeklickt. Einheiten spielen keine Rolle, gerechnet wird mit reinen Zahlen, und die Ausgabe trägt dieselbe Einheit wie die Eingabe. Abgewiesen werden nur Null und negative Werte, denn eine Strecke ohne Länge lässt sich nicht teilen.
Wann 8 : 5 die bessere Antwort ist als 1,618
Das Verhältnis benachbarter Fibonacci-Zahlen nähert sich φ, und zwar abwechselnd von beiden Seiten: 8 : 5 ergibt 1,600 und liegt gut ein Prozent darunter, 13 : 8 ergibt 1,625 und knapp ein halbes Prozent darüber, 21 : 13 ergibt 1,6154. Mit jedem weiteren Schritt schrumpft der Abstand um etwa den Faktor 2,618. Wer in ganzen Einheiten arbeitet — Spalten in einem Raster, Reihen in einer Tabelle, Bretter im Zuschnitt —, greift zu einem solchen Paar und muss nicht auf Zehntelmillimeter runden.
Die Zeile „Nächstes Fibonacci-Paar“ sucht dafür das Paar, dessen größere Zahl dem berechneten größeren Abschnitt am nächsten kommt. Für ein Ganzes von 100 ist das 34 : 55, denn der Major beträgt 61,80, und 55 liegt näher daran als 89. Wichtig ist dabei: Die beiden Zahlen sind ein Verhältnis, keine Maße. 34 und 55 ergeben zusammen 89, nicht 100. Bei sehr kleinen Eingaben landet die Suche außerdem am Anfang der Folge, wo 1 : 1 oder 1 : 2 noch weit von φ entfernt sind — brauchbar wird die Näherung erst ab 5 : 8.
Die Geschichten, die sich nicht belegen lassen
Über kaum eine Zahl kursieren so viele Behauptungen. Der Parthenon sei nach dem goldenen Schnitt gebaut, die Cheops-Pyramide ebenso, Leonardo habe die Mona Lisa danach angelegt — für keine dieser Aussagen gibt es zeitgenössische Belege, sie stammen sämtlich aus dem 19. Jahrhundert und später. Bei einem Bauwerk entscheidet zudem der Messende, wo das Rechteck überhaupt beginnt: mit oder ohne Stufenunterbau, mit oder ohne den fehlenden Giebel. Je nach Wahl kommen Werte zwischen 1,5 und 1,7 heraus, und 1,618 ist einer davon.
Dasselbe gilt für die „idealen Gesichtsproportionen“: Messreihen finden keine verlässliche Vorliebe für goldene Verhältnisse, weder bei Gesichtern noch bei bloßen Rechtecken, obwohl seit dem 19. Jahrhundert danach gesucht wird. Der alte mathematische Name ist nüchterner — Euklid nennt ihn im sechsten Buch der Elemente die Teilung im äußeren und mittleren Verhältnis; „goldener Schnitt“ ist eine deutsche Wortprägung des 19. Jahrhunderts. Belegt ist φ dagegen in der Botanik: Der Divergenzwinkel vieler Blattstellungen liegt bei 137,5 Grad, also 360 geteilt durch 2,618, und die Spiralen im Sonnenblumenkorb treten in benachbarten Fibonacci-Zahlen auf.