Объём конуса и площадь поверхности

АвторOleh Soloninобновлено 27 сентября 2026 г.

Что найти

Радиус основания

Высота

Результат

Объём37,699112
Объём через πV = 12π ≈ 37,7
Образующая5
Площадь основания28,274334
Боковая поверхность47,12389
Полная поверхность75,398224
Угол при вершине, °73,7398
РешениеV = π · 3² · 4 ÷ 3 = 12π ≈ 37,7; l = √(3² + 4²) = 5

Треть от цилиндра той же высоты

Объём конуса V = πr²h/3 и усечённого конуса, образующая, площадь основания, боковой и полной поверхности, угол при вершине, а также высота или радиус по объёму — с ответом через π и решением.

Объём конуса равен трети произведения площади основания на высоту: V = πr²h ÷ 3. Для радиуса 3 и высоты 4: V = π · 9 · 4 ÷ 3 = 12π ≈ 37,70 — ровно треть объёма цилиндра с тем же основанием и высотой.

Образующая — расстояние от вершины до края основания: l = √(r² + h²). Для r = 3 и h = 4 она ровно 5. Через образующую считается боковая поверхность S = πrl, а полная — πrl + πr².

Как пользоваться

Выберите, что найти: всё по радиусу и высоте, высоту или радиус по объёму, или усечённый конус.
Введите известные размеры в одних единицах — ответ будет в тех же единицах, в квадрате или в кубе.
Посмотрите объём, в том числе через π, образующую, площади и решение строкой.

Формулы конуса и усечённого конуса

Конус: V = πr²h ÷ 3; l = √(r² + h²); S бок = πrl; S полн = πr(l + r). Обратно: высота по объёму h = 3V ÷ (πr²), радиус r = √(3V ÷ (πh)).

Усечённый конус с радиусами оснований R и r и высотой h: V = πh(R² + Rr + r²) ÷ 3; образующая l = √(h² + (R − r)²); S бок = π(R + r)l. Для R = 3, r = 1, h = 4: V = π · 4 · (9 + 3 + 1) ÷ 3 = 52π/3 ≈ 54,45.

Посчитано этим калькулятором.
Радиус	Высота	Объём	Образующая	Полная поверхность
3	4	12π ≈ 37,70	5	24π ≈ 75,40
1	3	π ≈ 3,14	3,1623	≈ 13,08
5	12	100π ≈ 314,16	13	90π ≈ 282,74
6	8	96π ≈ 301,59	10	96π ≈ 301,59

Что показывает калькулятор

Объём конуса — числом и через π
Образующую, площадь основания, боковой и полной поверхности
Высоту или радиус по известному объёму
Объём и площади усечённого конуса
Угол при вершине и решение строкой

Что важно учитывать

Конус прямой круговой: вершина строго над центром основания.
Все размеры вводятся в одних единицах; площади получаются в квадратных, объём — в кубических единицах.

Частые вопросы

Как найти объём конуса?

Умножить площадь основания πr² на высоту и разделить на 3: V = πr²h ÷ 3. Для r = 3 и h = 4 — 12π ≈ 37,70.

Как найти высоту конуса, зная объём?

h = 3V ÷ (πr²). Если объём 12π, а радиус 3, высота равна 3 · 12π ÷ (9π) = 4. Выберите режим «Высоту по объёму и радиусу».

Как найти образующую конуса?

По теореме Пифагора: l = √(r² + h²). Для радиуса 5 и высоты 12 образующая 13.

Как найти объём усечённого конуса?

V = πh(R² + Rr + r²) ÷ 3, где R и r — радиусы оснований. Для R = 3, r = 1, h = 4 — 52π/3 ≈ 54,45. В калькуляторе есть режим «Усечённый конус».

Как найти площадь полной поверхности конуса?

Сложить боковую поверхность πrl и площадь основания πr²: S = πr(l + r). Для r = 3 и l = 5 — 24π ≈ 75,40.

Чему равен объём конуса радиусом 3 и высотой 4?

37,70 — это треть от объёма цилиндра тех же размеров. Образующая при этом равна 5, потому что 3, 4 и 5 образуют прямоугольный треугольник.

Почему в формуле стоит одна треть?

Конус занимает ровно треть описанного вокруг него цилиндра. Это следует из интегрирования площади сечения по высоте и проверяется экспериментом: три полных конуса наполняют цилиндр той же высоты и радиуса.

Мини-пример расчёта

Конус 3 на 4

Входные данные: Радиус 3, высота 4

Результат: Объём 12π ≈ 37,7, образующая 5

Комментарий: Образующая целая, потому что 3, 4 и 5 — пифагорова тройка. Цилиндр тех же размеров имел бы объём 36π ≈ 113,1 — ровно втрое больше.

Полезные переходы

Все инструменты раздела Математика и статистика

Объём конуса и площадь поверхности

Результат

Связанные инструменты

Объём цилиндра

Объём шара и площадь сферы

Теорема Пифагора

Полезные переходы