Площадь треугольника

АвторOleh Soloninобновлено 5 октября 2026 г.

Что известно

Сторона a (или катет)

Сторона b (или катет)

Сторона c

Результат

Площадь6
Решениеp = (3 + 4 + 5) ÷ 2 = 6; S = √(6 · 3 · 2 · 1) = 6
Сторона c5
Периметр12
Угол A, °36,8699
Угол B, °53,1301
Угол C, °90
Высота к стороне a4
Радиус вписанной1
Радиус описанной2,5
Тип треугольникапрямоугольный

Четыре способа найти площадь — с решением

Площадь треугольника по основанию и высоте, по трём сторонам по формуле Герона, по двум сторонам и углу между ними и по катетам — с решением, углами, высотами и радиусами окружностей.

Площадь треугольника можно найти четырьмя способами, и выбор зависит от того, что известно. Чаще всего в задаче даны основание и высота: площадь — половина их произведения. Если высоты нет, помогут три стороны и формула Герона или две стороны и угол между ними, а для прямоугольного треугольника достаточно двух катетов.

Калькулятор показывает решение строкой, как его записывают в тетради. Когда известны стороны, он заодно находит все углы, высоту, радиусы вписанной и описанной окружностей и проверяет неравенство треугольника: стороны 1, 2 и 5 треугольника не образуют, и вместо бессмысленного числа вы увидите объяснение.

Как пользоваться

Выберите, что известно: основание и высота, три стороны, две стороны и угол или катеты прямоугольного треугольника.
Введите числа в одних и тех же единицах — например, всё в сантиметрах; площадь получится в квадратных сантиметрах.
Посмотрите площадь и строку «Решение» с подстановкой в формулу, а для сторон — ещё углы, периметр и радиусы.

Формулы площади треугольника

Все четыре формулы дают одну и ту же площадь, если данные относятся к одному треугольнику. Для египетского треугольника 3, 4, 5 каждая выдаёт 6: катеты 3 и 4 — это и основание с высотой, и две стороны с прямым углом между ними.

Что известно	Формула	Пример
Основание a и высота h	S = ½ · a · h	a = 6, h = 4 → S = 12
Три стороны a, b, c	S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), p = (a + b + c) ÷ 2	3, 4, 5 → p = 6, S = 6
Две стороны и угол γ между ними	S = ½ · a · b · sin γ	5, 7, 30° → S = 8,75
Катеты прямоугольного треугольника	S = ½ · a · b	3 и 4 → S = 6

Площадь прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике один катет служит высотой к другому, поэтому площадь — половина произведения катетов: при катетах 6 и 8 см это 24 см². Гипотенузу находят по теореме Пифагора: c = √(6² + 8²) = 10 см.

Если известны гипотенуза и один катет, второй катет находят той же теоремой: b = √(c² − a²). Для гипотенузы 13 и катета 5 второй катет — 12, площадь — 30.

Формула Герона на примере

Формула Герона нужна, когда известны только стороны. Сначала находят полупериметр, затем перемножают его с разностями полупериметра и каждой стороны и извлекают корень. Для сторон 5, 6 и 7: p = (5 + 6 + 7) ÷ 2 = 9, S = √(9 · 4 · 3 · 2) = √216 ≈ 14,7.

Если под корнем получается ноль или отрицательное число, треугольника с такими сторонами не существует: сумма двух сторон не больше третьей. Это и есть неравенство треугольника, которое калькулятор проверяет первым.

Единицы площади

Площадь выходит в квадратах тех единиц, в которых введены стороны: сантиметры дают см², метры — м². Переводить нужно в квадрате: в 1 м² 10 000 см², а не 100. Треугольник с основанием 120 см и высотой 80 см имеет площадь 4 800 см², то есть 0,48 м².

Что показывает калькулятор

Площадь треугольника и решение с подстановкой в формулу
Для сторон — периметр, все три угла, высоту и радиусы вписанной и описанной окружностей
Тип треугольника: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный

Что важно учитывать

Все размеры вводятся в одних единицах; площадь получается в квадратных единицах того же вида.
Углы возвращаются в градусах; в режиме «две стороны и угол» угол должен быть между 0 и 180 градусами и лежать между введёнными сторонами.

Частые вопросы

Как найти площадь треугольника?

Проще всего — умножить основание на высоту и разделить пополам: S = ½ · a · h. Если высоты нет, используйте формулу Герона по трём сторонам или формулу через две стороны и синус угла между ними.

Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Перемножить катеты и разделить пополам. При катетах 6 и 8 площадь 24 — гипотенуза для этого не нужна.

Что такое формула Герона?

Площадь через полупериметр: S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), где p — половина периметра. Она удобна тем, что не требует знать ни одной высоты и ни одного угла.

Почему треугольник иногда не существует?

Из-за неравенства треугольника: сумма любых двух сторон обязана быть больше третьей. Со сторонами 1, 2 и 5 короткие стороны просто не дотянутся друг до друга.

Как найти углы, зная только стороны?

По теореме косинусов: cos A = (b² + c² − a²) / 2bc. Отсюда угол берётся арккосинусом. Для прямоугольного треугольника формула сводится к теореме Пифагора.

Зачем нужны радиусы окружностей?

Радиус вписанной равен площади, делённой на полупериметр, и нужен в задачах на касательные. Радиус описанной равен abc/4S и связан с теоремой синусов.

Мини-пример расчёта

Египетский треугольник

Входные данные: Стороны 3, 4 и 5

Результат: Площадь 6, угол C ровно 90°

Комментарий: Решение: p = (3 + 4 + 5) ÷ 2 = 6, S = √(6 · 3 · 2 · 1) = 6. Калькулятор сам определяет треугольник как прямоугольный, потому что 9 + 16 = 25, а радиус вписанной окружности получается ровно 1.

Полезные переходы

Все инструменты раздела Математика и статистика

Площадь треугольника

Результат

Связанные инструменты

Теорема Пифагора

Площадь трапеции

Площадь круга и длина окружности

Полезные переходы