Un cono queda definido por dos medidas: el radio de la base y la altura desde el vértice hasta el centro de esa base. Con un radio de 5 y una altura de 12, el volumen es 314,16, la generatriz mide exactamente 13 y la superficie total, base incluida, 282,74.
Ese volumen es justo la tercera parte del cilindro que tuviera la misma base y la misma altura: 942,48 frente a 314,16. No es una aproximación cómoda: es el 3 que lleva la fórmula en el denominador.
Un tercio del cilindro, siempre
La relación se cumple en cualquier cono, afilado o achatado: πr²h es el cilindro y πr²h/3 el cono. De ahí el experimento de clase con un vaso cónico y otro recto de la misma boca y la misma altura: hacen falta tres llenados del primero para completar el segundo. Euclides ya lo demuestra en el libro XII de los Elementos, veinte siglos antes de que existiera el cálculo integral.
En la práctica esa tercera parte sorprende casi siempre a la baja. Un vaso cónico de 8 centímetros de boca y 10 de alto contiene 167,55 centímetros cúbicos; el recto de las mismas medidas, 502,65. Quien calcule un montón de grava a ojo imaginando un cilindro lo estará triplicando.
La generatriz no es la altura
La generatriz es la línea que va del vértice a cualquier punto del borde de la base, la que se recorre con el dedo por la pendiente. El radio y la altura forman ángulo recto, de modo que esa línea es la hipotenusa: s = √(r² + h²). Con 5 y 12 salen 13 justos, uno de los pocos casos en los que el resultado es un número entero.
Confundirla con la altura es el fallo habitual, y siempre por defecto, porque la hipotenusa es la mayor de las tres medidas. En ese mismo cono la superficie lateral daría 188,50 en lugar de 204,20, un 7,7 % menos. Y cuanto más achatado sea el cono, peor: con un radio de 10 y una altura de 2, la generatriz mide 10,20 y la lateral 320,38, mientras que usar la altura dejaría 62,83, cinco veces menos.
Cuando la base no cuenta
La superficie que devuelve la calculadora es la total, πr(r + s): la lateral más el círculo de la base. Un cucurucho, un embudo o el tejado cónico de una torre no tienen ese círculo y hay que restarlo. En una torre de 2,5 metros de radio y 4 de altura, la total son 56,68 metros cuadrados, la base 19,63 y el faldón que se cubre de pizarra, 37,05.
Quien vaya a cortar ese faldón en chapa o en cartulina necesita además su forma en plano: la superficie lateral desplegada es un sector circular de radio igual a la generatriz y de ángulo 360° · r / s. Para el cono de 5 y 12, un sector de 13 de radio y 138,46 grados, más lo que se solape en la junta.