Dos puntos en un plano y una sola pregunta: cuánto hay de uno a otro en línea recta. De (0, 0) a (3, 4) hay exactamente 5 — 3 al cuadrado son 9, 4 al cuadrado son 16, y la raíz de 25 es 5 clavado, sin decimales.
La calculadora devuelve además el punto medio del segmento, que en ese ejemplo cae en (1,5; 2). Las cuatro coordenadas han de ir en la misma unidad, y la distancia sale en esa misma unidad: si van en metros, el resultado son metros. Nada obliga, en cambio, a que los valores sean positivos.
Pitágoras con otro nombre
Los dos puntos definen sin querer un triángulo rectángulo: un cateto es la diferencia de las x, el otro la diferencia de las y, y el segmento que los une es la hipotenusa. De (0, 0) a (3, 4) los catetos miden 3 y 4, de modo que la distancia es la raíz de 9 + 16, es decir 5 justo.
De ahí que el orden de los puntos no cuente. Medir de B a A cambia el signo de las dos diferencias, −3 y −4, pero al elevarlas al cuadrado vuelven a salir 9 y 16. El resultado es el mismo, se escriba en el orden que se escriba.
El punto medio es una media
El punto medio no necesita raíces: es la media de las x y la media de las y, cada una por su lado. Entre (0, 0) y (3, 4) cae en (1,5; 2); entre (2, 1) y (7, 13), en (4,5; 7).
Sirve para lo que uno espera que sirva: clavar un poste a mitad de camino entre dos esquinas, centrar un rótulo entre dos anclajes, partir un tramo en dos mitades iguales. Y ofrece una comprobación rápida: cada coordenada del punto medio queda siempre entre las dos de partida, nunca fuera de ellas.
Cuando los números no salen redondos
Que el 3-4-5 salga exacto es la excepción: ocurre con las ternas pitagóricas —5-12-13, 8-15-17— y con poco más. Lo habitual es un decimal que no termina: de (0, 0) a (5, 5) la distancia es la raíz de 50, o sea 7,07; de (1, 1) a (6, 4), la raíz de 34, o sea 5,83. Por eso conviene redondear una sola vez y al final. Si se redondean antes las diferencias, el recorte se eleva al cuadrado con ellas y llega ampliado al resultado.
Tampoco hay que darle vueltas al signo de las coordenadas. El origen puede estar en el centro de la parcela y dejar puntos en los cuatro cuadrantes: de (−4, −1) a (−1, 3) las diferencias son 3 y 4, y la distancia vuelve a ser 5. Lo único que hay que respetar es que los dos puntos se midan desde el mismo origen, porque la fórmula no tiene modo de notar que uno se tomó desde otra esquina.