En 3x + 5 = 20 se busca el número que, multiplicado por 3 y aumentado en 5, da 20. Se resta el 5 en los dos miembros y se divide entre 3: x = (20 − 5) / 3 = 5. Y se comprueba de un vistazo, porque 3 · 5 + 5 son exactamente 20.
Esa es toda la fórmula: x = (c − b) / a. Se llama de primer grado porque la incógnita aparece elevada a uno, sin cuadrados ni raíces, y por eso, mientras a no sea cero, tiene una única solución. Los decimales van con coma: 2,5x − 3 = 4,5 da x = (4,5 + 3) / 2,5 = 3.
Primero se ordena la ecuación, después se aplica la fórmula
La fórmula exige la forma a·x + b = c, con toda la incógnita a la izquierda y un número solo a la derecha. En 4x − 6 = x + 9 hay x en ambos miembros: se resta x a los dos lados y queda 3x − 6 = 9, es decir a = 3, b = −6 y c = 9. La solución es x = (9 + 6) / 3 = 5, y los dos miembros de la ecuación original valen 14.
El signo viaja con el número. Si el término independiente está restando, b entra en negativo, y ese es el error de cálculo más frecuente en los primeros cursos de la ESO, donde se estudian estas ecuaciones. Los paréntesis y las fracciones se quitan antes: hasta que no queden, no se sabe cuánto vale a.
Cuando a vale cero no hay un error, hay dos respuestas distintas
Con a = 0 la x desaparece de la ecuación y ya no hay nada que despejar; queda una afirmación sobre números que es verdadera o falsa. En 0 · x + 7 = 7 se lee 7 = 7, cierto siempre: cualquier número sirve como solución, son infinitas. En 0 · x + 7 = 20 se lee 7 = 20, falso siempre: no hay ni una sola solución. No es una división que dé error, sino una igualdad que hay que leer: dividir entre cero no daría un aviso técnico, sino una respuesta inventada que la ecuación no tiene.
En la práctica esto no llega escrito así, aparece al ordenar. En 2x + 4 = 2(x + 2) los dos miembros son iguales término a término y todo número la cumple; en 2x + 4 = 2(x + 5) se llega a 4 = 10 y no la cumple ninguno. Si al agrupar se te van las x, mira qué queda a los dos lados antes de dar la ecuación por imposible.
La comprobación consiste en devolver el resultado a la ecuación
Hallada la x, se sustituye en la ecuación de partida y se calculan los dos miembros por separado: si coinciden, la solución es correcta. En 3x − 4 = 20 sale x = (20 + 4) / 3 = 8, y 3 · 8 − 4 son 20. Este paso caza el signo cambiado al pasar un término de lado, que es justo el fallo del que la fórmula no puede avisar por sí sola.
Comprueba con el valor exacto, no con el redondeado. En 7x + 2 = 20 la solución es 18/7 = 2,571428…, y 7 · 18/7 son 18 justos, más 2 igual a 20. Si sustituyes 2,57, el resultado es 19,99: la diferencia la ha puesto el redondeo, no la solución.