El máximo común divisor es el mayor número que divide sin resto a todos los datos; el mínimo común múltiplo es el menor número que los tiene a todos como divisores. Para 48, 180 y 210 son 6 y 5 040.
Los dos se leen en la descomposición en factores primos: el MCD toma cada factor común con el menor exponente que aparezca, y el mcm toma cada factor presente con el mayor.
El algoritmo de Euclides
Para el MCD no hace falta descomponer. Se divide el número mayor entre el menor y se sigue con el resto hasta que sea cero: el último número antes del cero es el MCD. De 180 y 48 se pasa a 48 y 36, luego a 36 y 12, luego a 12 y 0.
El método tiene unos 2 300 años y sigue siendo el más rápido que se conoce para números grandes. Por eso un MCD se calcula en fracciones de segundo incluso con números de mil cifras — la base de la criptografía moderna.
Para qué sirven
Las fracciones se simplifican con el MCD y se llevan a común denominador con el mcm. Es la aplicación más frecuente, y entre las dos explican por qué el cálculo con fracciones no se sostiene sin estos dos conceptos.
Fuera del aula aparecen en los ciclos: dos procesos que arrancan cada 48 y cada 180 segundos vuelven a coincidir cada 720 segundos, el mcm de ambos. El aprovechamiento del material al cortar sigue la misma lógica.