Hay cuatro casos que distinguir, y la pregunta es siempre la misma: ¿cuenta el orden y puede repetirse un elemento? De esas dos respuestas sale la fórmula.
En la lotería primitiva se eligen seis números de 49 sin repetición y sin que importe el orden. Eso da 13 983 816 posibilidades — la cifra que hay detrás de la probabilidad conocida.
Los cuatro casos de un vistazo
Sin repetición y con orden es n! dividido entre (n − k)!; si el orden no cuenta se divide además entre k!, y eso es el número combinatorio. Con repetición y con orden son simplemente n elevado a k.
El cuarto caso, con repetición y sin orden, es el menos familiar: (n + k − 1) sobre k. Describe, por ejemplo, de cuántas maneras se reparten k bolas iguales entre n cajas.
Por qué las cifras crecen tan rápido
El factorial crece más deprisa que cualquier potencia. 10! ya son 3,6 millones, 20! pasan de dos trillones, y a partir de 171! se alcanza el límite de los números en coma flotante — por eso la calculadora avisa a partir de ahí.
Aun así el número combinatorio nunca llega a ser tan grande como el factorial, porque simplifica por dos lados. Se calcula de forma multiplicativa y no con tres factoriales, porque si no los pasos intermedios se desbordarían aunque el resultado sea manejable.