En una progresión geométrica cada término sale del anterior multiplicándolo siempre por el mismo número, la razón. Con primer término 3 y razón 2 salen 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192 y 384: el octavo término es 3 · 2⁷ = 384 y los ocho juntos suman 765.
Las dos fórmulas son aₙ = a₁ · q^(n−1) para el término y S = a₁ · (qⁿ − 1)/(q − 1) para la suma. La segunda deja de servir cuando la razón vale exactamente 1, porque el denominador se anula; en ese caso todos los términos son iguales y la suma es sencillamente n · a₁.
Con razón menor que 1 en valor absoluto, la suma infinita es finita
Sumar infinitos números y obtener una cifra concreta parece imposible, y sin embargo ocurre siempre que el valor absoluto de la razón queda por debajo de 1. La fórmula es a₁/(1 − q): con a₁ = 1 y q = 0,5 la serie 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + … no pasa nunca de 2. Cada término aporta la mitad de lo que falta, así que el total se acerca a 2 sin llegar a tocarlo.
El ejemplo de la pelota lo ilustra bien. Una que se suelta desde 2 metros y en cada bote recupera el 60 % de la altura anterior rebota infinitas veces, pero el camino que recorre mide 2 + 2 · (1,2/0,4) = 8 metros. Con razón de valor absoluto 1 o mayor no hay tal límite: los términos no se encogen lo bastante deprisa y la suma crece sin tope.
El interés compuesto es una progresión geométrica
Un capital que crece a un tipo fijo se multiplica cada año por el mismo factor, y ese factor es la razón. Mil euros al 3 % anual dan la progresión 1 000; 1 030; 1 060,90… con q = 1,03, y el término número 11 —el saldo al cabo de diez años— es 1 000 · 1,03¹⁰ = 1 343,92 euros.
Conviene fijarse en el desfase: el término n corresponde a n − 1 periodos transcurridos, porque a₁ es el punto de partida y no el primer año cumplido. Quien busque el saldo tras diez años debe pedir el término 11. Lo mismo vale para una caída porcentual constante, la depreciación de un coche por ejemplo, donde perder un 15 % al año significa q = 0,85.
Razón negativa, razón 1 y otros casos especiales
Nada obliga a que la razón sea positiva. Con a₁ = 4 y q = −0,5 los términos alternan de signo: 4; −2; 1; −0,5; 0,25… y como la razón queda por debajo de 1 en valor absoluto, la suma infinita existe igualmente: 4/(1 − (−0,5)) = 4/1,5 = 2,67.
Los casos que la calculadora trata por separado son dos. Con q = 1 la suma es n · a₁, porque todos los términos coinciden y la fórmula general dividiría entre cero. Con q = 0 queda el primer término y ceros a partir del segundo. Y un primer término igual a cero anula la progresión entera, sea cual sea la razón.