Calculadora de progresión geométrica

PorOleh Soloninactualizado el 25 de septiembre de 2026

Resultado

El término 8 vale 384 y la suma de los primeros 8 es 765.

Término n-ésimo (aₙ)

384

Suma de los n primeros

765

Suma infinita

—

Cálculo

aₙ = 3 × 2^(8 − 1) = 384; Sₙ = 3 × (2^8 − 1) / (2 − 1) = 765

El resultado es orientativo y no sustituye a una asesoría profesional.

Término n-ésimo, suma de los n primeros y suma infinita de una progresión geométrica.

En una progresión geométrica cada término sale del anterior multiplicándolo siempre por el mismo número, la razón. Con primer término 3 y razón 2 salen 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192 y 384: el octavo término es 3 · 2⁷ = 384 y los ocho juntos suman 765.

Las dos fórmulas son aₙ = a₁ · q^(n−1) para el término y S = a₁ · (qⁿ − 1)/(q − 1) para la suma. La segunda deja de servir cuando la razón vale exactamente 1, porque el denominador se anula; en ese caso todos los términos son iguales y la suma es sencillamente n · a₁.

Cómo usar la calculadora

Escriba a₁, el primer término de la progresión.
Halle q dividiendo un término entre el anterior: en 3, 6, 12, 24 la razón es 2. Si un valor sube un 3 por ciento en cada paso, q vale 1,03.
Indique n. Obtendrá el término n-ésimo, la suma de los n primeros y, cuando q sea menor que uno en valor absoluto, el límite de la suma infinita.

La progresión 3, 6, 12, 24 … y sus sumas

Al duplicar no solo crece deprisa el término: la suma se queda siempre muy cerca de él. Con q = 2, cada suma está exactamente tres unidades por debajo del doble del último término — aquí, 2 × 384 − 3 = 765. Todo lo acumulado pesa por tanto poco más que el último término, y de ahí que las historias de duplicación, como la del grano de trigo en el tablero de ajedrez, acaben en cifras que nadie imagina.

Entre n = 10 y n = 20 el término pasa de 1.536 a 1.572.864, mil veces más. Diez duplicaciones equivalen aproximadamente a multiplicar por 1.000, una regla que sirve igual para datos que para intereses.

Calculado con a₁ = 3 y q = 2 según aₙ = a₁ · q^(n−1) y Sₙ = a₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1).
n	Término n-ésimo	Suma de los n primeros
1	3	3
5	48	93
8	384	765
10	1.536	3.069
15	49.152	98.301
20	1.572.864	3.145.725

Cuando q es menor que uno: la suma infinita

Si q es menor que uno en valor absoluto, los términos se hacen cada vez más pequeños y la suma tiende a un valor fijo: a₁ dividido entre (1 − q). Con a₁ positivo y q entre 0 y 1 las sumas parciales se acercan a él por debajo; con q negativo oscilan a su alrededor y pueden pasarlo.

Lo rápido que se alcanza depende por completo de q. Con 0,5, después de diez términos faltan menos de 2 para llegar a 2.000; con 0,9, esos mismos diez términos apenas reúnen 6.513 de 10.000. Con q negativa las sumas parciales oscilan alrededor del límite en lugar de acercarse siempre por debajo.

Todas las filas están calculadas con a₁ = 1.000. La cuarta corresponde a un saldo de 1.000 € que crece un 3 % al año: a los nueve años está en 1.304,77 €, porque el primer término es el valor inicial.
q	Término 10	Suma de los 10 primeros	Suma infinita
0,5	1,95	1.998,05	2.000
0,9	387,42	6.513,22	10.000
−0,5	−1,95	666,02	666,67
1,03	1.304,77	11.463,88	no existe — q pasa de uno
2	512.000	1.023.000	no existe — q pasa de uno

Con razón menor que 1 en valor absoluto, la suma infinita es finita

Sumar infinitos números y obtener una cifra concreta parece imposible, y sin embargo ocurre siempre que el valor absoluto de la razón queda por debajo de 1. La fórmula es a₁/(1 − q): con a₁ = 1 y q = 0,5 la serie 1 + 0,5 + 0,25 + 0,125 + … no pasa nunca de 2. Cada término aporta la mitad de lo que falta, así que el total se acerca a 2 sin llegar a tocarlo.

El ejemplo de la pelota lo ilustra bien. Una que se suelta desde 2 metros y en cada bote recupera el 60 % de la altura anterior rebota infinitas veces, pero el camino que recorre mide 2 + 2 · (1,2/0,4) = 8 metros. Con razón de valor absoluto 1 o mayor no hay tal límite, salvo que a₁ sea 0: las sumas crecen sin tope o, con q = −1, saltan entre a₁ y 0 sin asentarse.

El interés compuesto es una progresión geométrica

Un capital que crece a un tipo fijo se multiplica cada año por el mismo factor, y ese factor es la razón. Mil euros al 3 % anual dan la progresión 1 000; 1 030; 1 060,90… con q = 1,03, y el término número 11 —el saldo al cabo de diez años— es 1 000 · 1,03¹⁰ = 1 343,92 euros.

Conviene fijarse en el desfase: el término n corresponde a n − 1 periodos transcurridos, porque a₁ es el punto de partida y no el primer año cumplido. Quien busque el saldo tras diez años debe pedir el término 11. Lo mismo vale para una caída porcentual constante, la depreciación de un coche por ejemplo, donde perder un 15 % al año significa q = 0,85.

Razón negativa, razón 1 y otros casos especiales

Nada obliga a que la razón sea positiva. Con a₁ = 4 y q = −0,5 los términos alternan de signo: 4; −2; 1; −0,5; 0,25… y como la razón queda por debajo de 1 en valor absoluto, la suma infinita existe igualmente: 4/(1 − (−0,5)) = 4/1,5 = 2,67.

Los casos que la calculadora trata por separado son dos. Con q = 1 la suma es n · a₁, porque todos los términos coinciden y la fórmula general dividiría entre cero. Con q = 0 queda el primer término y ceros a partir del segundo. Y un primer término igual a cero anula la progresión entera, sea cual sea la razón.

Fuentes

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes

Cifras vigentes en 2026. Los resultados son orientativos y no sustituyen el asesoramiento profesional.

Preguntas frecuentes

¿En qué se diferencia de una progresión aritmética?

En la aritmética se suma siempre la misma cantidad; en la geométrica se multiplica siempre por el mismo número. 3, 6, 9, 12 es aritmética; 3, 6, 12, 24 es geométrica. La segunda se dispara mucho antes: en el término 20 la aritmética va por 60 y la geométrica pasa de un millón y medio.

¿Puede la razón llevar decimales?

Sí, y fuera de los libros de texto es lo habitual: un crecimiento del 4 % anual es q = 1,04 y una pérdida del 20 % es q = 0,8. Escriba el decimal con coma.

¿Por qué a veces no aparece la suma infinita?

Porque solo existe cuando la razón es menor que 1 en valor absoluto. Con razón 2 cada término dobla al anterior y la suma crece sin límite, así que la calculadora muestra un guion en lugar de una cifra. Con razón −2 pasa otro tanto: los términos alternan de signo y cada vez son mayores. Con razón 1 se añade siempre la misma cantidad, que tampoco tiene fin, y con razón −1 las sumas saltan entre a₁ y 0 sin llegar a un valor. Solo con a₁ = 0 la suma es 0 para cualquier razón.

¿Cuándo tiene suma la serie infinita?

Solo cuando q es menor que uno en valor absoluto. Entonces vale a₁ dividido entre (1 − q): con a₁ = 1.000 y q = 0,5 son 2.000, y los diez primeros términos ya suman 1.998,05. Si q llega a uno o lo supera, la suma crece sin límite y la calculadora deja el campo vacío.

¿Cómo se calculan intereses como progresión geométrica?

La razón es 1 más el tipo dividido entre 100: con un 3 por ciento, 1,03. Un saldo de 1.000 € es entonces el primer término, y el décimo — 1.304,77 € — es el saldo a los nueve años. Quien busque el saldo a los diez años debe escribir n = 11.

¿Qué ocurre con una razón negativa?

Los términos cambian de signo en cada paso. Con a₁ = 1.000 y q = −0,5, el décimo término es −1,95, la suma de los diez primeros 666,02 y la suma infinita 666,67. Como el valor absoluto es menor que uno, el límite existe pese a la alternancia de signos.

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