El factorial de un número es el producto de todos los enteros que van del 1 hasta él: 10! = 1 × 2 × 3 × … × 10 = 3.628.800. Ese número cuenta algo muy concreto: las maneras distintas de colocar diez objetos en fila, uno detrás de otro.
Conviene mirarlo con respeto, porque el crecimiento no afloja nunca. 20! son ya 2.432.902.008.176.640.000 —diecinueve cifras, más de dos trillones— y 70! ocupa 101 cifras. De ahí que el resultado se devuelva como texto y acompañado del número de cifras: pasado cierto punto, de un factorial solo se puede leer el tamaño.
Por qué 0! vale 1
No es un convenio caprichoso, es el producto vacío: multiplicar cero factores deja el elemento neutro de la multiplicación, que es el 1, igual que sumar cero sumandos deja 0. La propia definición recursiva lo impone por sí sola: si n! = n × (n−1)!, entonces 1! = 1 × 0!, y para que 1! valga 1 no hay más remedio que 0! valga 1.
La utilidad se ve en las combinaciones. El número de formas de elegir k elementos entre n es n! ÷ (k! · (n−k)!), y elegir los cinco de un conjunto de cinco tiene que dar una única forma: 120 ÷ (120 × 0!) = 1 solo si 0! = 1. Con cualquier otro valor la fórmula fallaría justo en los extremos, que es donde primero se comprueba.
A qué velocidad crece
Cada paso multiplica por un número mayor que el anterior, así que la distancia entre términos se dispara. De 10! a 20! no se duplica nada: 20! es 670.442.572.800 veces mayor que 10!. Y de 20! a 40! el salto es de otro orden todavía, porque 20! tiene 19 cifras y 40! tiene 48.
Los ordenadores se quedan cortos enseguida. Un entero de 64 bits llega hasta 9.223.372.036.854.775.807 y aguanta justo hasta 20!; con 21! se desborda. En coma flotante de doble precisión el techo está en 170! y 171! se devuelve ya como infinito. Aquí la cuenta se hace con enteros de precisión arbitraria, y por eso el valor sale en un campo de texto y no en uno numérico.
Dónde sale la cuenta
En la lotería, sin ir más lejos. La Primitiva pide seis números de 49 y el orden no importa: 49! ÷ (6! · 43!) = 13.983.816 combinaciones, que es el «uno entre casi catorce millones» del boleto. En Euromillones se multiplican dos elecciones, cinco números de 50 que dan 2.118.760 y dos estrellas de 12 que dan 66, y el producto son 139.838.160 boletos distintos.
Cuando el orden sí cuenta, el factorial va solo. Una baraja española de 40 cartas admite 40! ordenaciones, un número de 48 cifras, tantas que basta barajar bien para obtener, casi con seguridad, una ordenación que no se ha dado nunca. La misma cuenta resuelve el reparto de turnos: ocho personas se ordenan de 8! = 40.320 maneras.