En una muestra de 50 alumnos la nota media es 6,4 y la desviación típica 1,2. El margen de error al 95 por ciento vale 1,960 · 1,2 / √50 = 0,33, de modo que el intervalo va de 6,07 a 6,73. La media de la muestra sigue siendo 6,4; lo que añade el intervalo es la anchura de la franja dentro de la cual cabe esperar la media del conjunto del que salió esa muestra.
Las tres piezas de la fórmula tiran en direcciones distintas: la desviación típica ensancha el intervalo, la raíz del tamaño de la muestra lo estrecha y el valor z fija cuánta seguridad se exige — 1,645 para el 90 por ciento, 1,960 para el 95 y 2,576 para el 99. Con esos mismos 50 alumnos el margen pasa de 0,28 a 0,33 y a 0,44: más confianza se paga siempre con una franja más ancha.
Qué dice el 95 por ciento y qué no dice
El 95 por ciento no es la probabilidad de que la media verdadera esté dentro de este intervalo concreto. La media verdadera es un número fijo y desconocido: o está dentro o no está, y ninguna de las dos cosas ocurre «con un 95 por ciento». El porcentaje describe el método, no el resultado que tiene delante.
Dicho de la forma en que sí se puede comprobar: si se repitiera el muestreo muchas veces y con cada muestra se construyera un intervalo de la misma manera, alrededor de 95 de cada 100 de esos intervalos contendrían la media verdadera y unos 5 no. Al 99 por ciento fallaría uno de cada cien, a costa de una franja más ancha. De un intervalo suelto nunca se sabe en cuál de los dos grupos ha caído.
Estrechar el intervalo a la mitad cuesta cuadruplicar la muestra
La n está bajo una raíz, y ahí se ve el precio de la precisión. Con una media de 100, una desviación típica de 15 y 50 observaciones, el margen al 95 por ciento es 4,16. Con 200 observaciones baja a 2,08 y con 800 a 1,04: cada vez que la muestra se multiplica por cuatro, el intervalo se reduce a la mitad. Multiplicarla por dos solo lo estrecha alrededor de un 30 por ciento.
Por eso las encuestas grandes ni son grandes por capricho ni crecen sin límite: pasar de 1 000 a 4 000 entrevistas duplica la precisión y cuadruplica el trabajo de campo. El INE publica los errores de muestreo de la Encuesta de Población Activa junto con los resultados, y ahí se aprecia el mismo efecto: la cifra nacional lleva una franja estrecha y la de una provincia pequeña, una mucho más ancha.
Un margen de error no corrige una muestra sesgada
La fórmula solo contabiliza el azar del muestreo: da por supuesto que las observaciones se tomaron al azar y de forma independiente dentro de la población sobre la que se quiere concluir. Si la muestra se recogió mal —contestaron únicamente los interesados, se preguntó solo en una ciudad—, el sesgo no entra en ningún punto del cálculo y el intervalo sale igual de estrecho y de tranquilizador que si todo estuviera bien.
El otro supuesto es que la media muestral se distribuya de forma aproximadamente normal. Con muestras de cierto tamaño eso se cumple casi siempre por el teorema central del límite, aunque los datos de partida no sean normales; con pocos datos y una distribución muy asimétrica o con valores extremos, no. En ese caso describen mejor la realidad la mediana y el rango que un intervalo levantado sobre supuestos que no se sostienen.