Una progresión aritmética avanza siempre con el mismo salto: cada término sale de sumar al anterior una diferencia fija d. Con a₁ = 2 y d = 3 la progresión es 2, 5, 8, 11… y el décimo término vale 2 + 9 · 3 = 29.
Para llegar hasta él no hace falta escribir los nueve anteriores, porque entre a₁ y aₙ hay n − 1 saltos y no n: de ahí aₙ = a₁ + (n − 1) · d. La suma de esos diez términos es 155, y tampoco hay que ir sumándolos uno a uno.
El truco de Gauss para la suma
La fórmula S = n · (a₁ + aₙ) / 2 sale de escribir la progresión dos veces, la segunda al revés, y sumarlas columna a columna. En la progresión 2, 5, 8… 29 cada columna da lo mismo: 2 + 29, 5 + 26, 8 + 23, siempre 31. Diez columnas de 31 suman 310, el doble de lo que se busca, y por eso la fórmula divide entre 2.
La anécdota que se atribuye a Gauss de niño cuenta lo mismo con los números del 1 al 100: cincuenta parejas que valen 101 cada una dan 5050. El razonamiento no depende de qué números sean, solo de que la diferencia se mantenga constante, así que vale para cualquier progresión aritmética.
Dónde aparecen en la vida corriente
Cualquier aumento a ritmo fijo forma una progresión aritmética. Si aparta 50 € este mes y cada mes siguiente 10 € más, en el mes doce aparta 50 + 11 · 10 = 160 €, y lo acumulado en el año es 12 · (50 + 160) / 2 = 1260 €.
Las filas de butacas de un teatro siguen la misma ley cuando cada fila lleva dos asientos más que la de delante: con 18 en la primera y 15 filas, la última tiene 46 y el aforo es de 480. Los peldaños de una escalera, las cuotas que suben una cantidad fija y el interés simple se describen igual.
Diferencia negativa, y cómo comprobar el resultado
Nada obliga a que d sea positiva. Con a₁ = 100 y d = −7 la progresión baja: el término doce es 100 − 77 = 23 y la suma de los doce primeros, 738. La fórmula es la misma, no hay que cambiar ningún signo a mano.
Para comprobar a ojo basta con la media: la suma dividida entre n tiene que caer justo en el punto medio entre a₁ y aₙ. Aquí 738 / 12 = 61,5, que es exactamente (100 + 23) / 2. Cuando no coincide, el error casi siempre está en el número de términos, por haber olvidado el n − 1.