Calculadora de progresiones aritméticas

PorOleh Soloninactualizado el 25 de septiembre de 2026

Resultado

El término 10 vale 29 y la suma de los primeros 10 es 155.

Término n-ésimo

Suma de los n primeros términos

155

Cálculo

aₙ = 2 + (10 − 1) × 3 = 29; Sₙ = 10 × (2 + 29) / 2 = 155

El resultado es orientativo y no sustituye a una asesoría profesional.

Término n-ésimo y suma de los n primeros términos, a partir del primer término y la diferencia.

Una progresión aritmética avanza siempre con el mismo salto: cada término sale de sumar al anterior una diferencia fija d. Con a₁ = 2 y d = 3 la progresión es 2, 5, 8, 11… y el décimo término vale 2 + 9 · 3 = 29.

Para llegar hasta él no hace falta escribir los nueve anteriores, porque entre a₁ y aₙ hay n − 1 saltos y no n: de ahí aₙ = a₁ + (n − 1) · d. La suma de esos diez términos es 155, y tampoco hay que ir sumándolos uno a uno.

Cómo usar la calculadora

Escriba a₁, el valor con el que empieza la progresión.
Halle d restando a un término el anterior: en 2, 5, 8, 11 la diferencia es 3. Si la progresión decrece, d es negativa.
Indique n, el número del término que busca. Obtendrá ese término y, a la vez, la suma de todos los términos del 1 al n.

La progresión 2, 5, 8, 11 … en números

El término n-ésimo crece de forma uniforme, pero la suma no: aumenta de manera aproximadamente cuadrática. Entre n = 50 y n = 100 el término pasa de 149 a 299, el doble, mientras que la suma casi se cuadruplica, de 3.775 a 15.050.

Con d negativa funciona igual. Una progresión que empieza en 100 y baja de 7 en 7 llega al término 15 valiendo apenas 2, y la suma de los quince primeros es 765. Un ahorro que arranca en 50 € y sube 12,50 € cada mes también es aritmético: en el mes doce son 187,50 €, y en el primer año suman 1.425 €.

Calculado con a₁ = 2 y d = 3 según aₙ = a₁ + (n − 1)·d y Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2. Para n = 100 eso es 100 × (2 + 299) / 2 = 15.050.
n	Término n-ésimo	Suma de los n primeros
1	2	2
5	14	40
10	29	155
20	59	610
50	149	3.775
100	299	15.050

El truco de Gauss para la suma

La fórmula S = n · (a₁ + aₙ) / 2 sale de escribir la progresión dos veces, la segunda al revés, y sumarlas columna a columna. En la progresión 2, 5, 8… 29 cada columna da lo mismo: 2 + 29, 5 + 26, 8 + 23, siempre 31. Diez columnas de 31 suman 310, el doble de lo que se busca, y por eso la fórmula divide entre 2.

La anécdota que se atribuye a Gauss de niño cuenta lo mismo con los números del 1 al 100: cincuenta parejas que valen 101 cada una dan 5050. El razonamiento no depende de qué números sean, solo de que la diferencia se mantenga constante, así que vale para cualquier progresión aritmética.

Dónde aparecen en la vida corriente

Cualquier aumento a ritmo fijo forma una progresión aritmética. Si aparta 50 € este mes y cada mes siguiente 10 € más, en el mes doce aparta 50 + 11 · 10 = 160 €, y lo acumulado en el año es 12 · (50 + 160) / 2 = 1260 €.

Las filas de butacas de un teatro siguen la misma ley cuando cada fila lleva dos asientos más que la de delante: con 18 en la primera y 15 filas, la última tiene 46 y el aforo es de 480. Los peldaños de una escalera, las cuotas que suben una cantidad fija y el interés simple se describen igual.

Diferencia negativa, y cómo comprobar el resultado

Nada obliga a que d sea positiva. Con a₁ = 100 y d = −7 la progresión baja: el término doce es 100 − 77 = 23 y la suma de los doce primeros, 738. La fórmula es la misma, no hay que cambiar ningún signo a mano.

Para comprobar a ojo basta con la media: la suma dividida entre n tiene que caer justo en el punto medio entre a₁ y aₙ. Aquí 738 / 12 = 61,5, que es exactamente (100 + 23) / 2. Cuando no coincide, el error casi siempre está en el número de términos, por haber olvidado el n − 1.

Fuentes

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes

Cifras vigentes en 2026. Los resultados son orientativos y no sustituyen el asesoramiento profesional.

Preguntas frecuentes

¿En qué se diferencia de una progresión geométrica?

En la aritmética se suma siempre la misma cantidad; en la geométrica se multiplica siempre por el mismo factor. 2, 5, 8, 11 es aritmética con d = 3, mientras que 2, 6, 18, 54 es geométrica de razón 3. La primera crece en línea recta; la segunda se dispara enseguida.

¿El primer término es n = 1 o n = 0?

Aquí n = 1, que es la convención del currículo español y la que usa la calculadora. Por eso la fórmula lleva n − 1: entre el primer término y el décimo hay nueve saltos, no diez. Confundirlo es el fallo más habitual y deja el resultado desviado justo en una d.

¿Puedo hallar la diferencia si solo conozco dos términos?

Sí. Reste el uno del otro y divida entre la distancia que separa sus posiciones: d = (aₘ − aₖ) / (m − k). Con a₃ = 8 y a₁₀ = 29 queda (29 − 8) / 7 = 3, y desde ahí se recupera el primero: a₁ = 8 − 2 · 3 = 2.

¿Cómo sé que una progresión es aritmética?

La diferencia entre dos términos seguidos es siempre la misma. En 3, 7, 11, 15 vale 4 en todos los pasos, así que es aritmética. En 3, 6, 12, 24, en cambio, se multiplica en vez de sumar: esa es geométrica y usa otras fórmulas.

¿Cómo averiguo n si conozco el término?

Con n = (aₙ − a₁) / d + 1. Con a₁ = 2, d = 3 y el término 29 sale (29 − 2) / 3 + 1 = 10, o sea el décimo término. El valor pertenece a la progresión solo si el resultado es un entero positivo. Con d = 0 la fórmula no sirve: todos los términos valen a₁.

¿Puede d llevar decimales?

Sí, y fuera del aula es lo más habitual. Un ahorro de 50 € que sube 12,50 € cada mes llega en el mes doce a 187,50 €, y en el primer año se han aportado 1.425 € en total. Los decimales se escriben con coma.

Enlaces útiles

Matemáticas Todas las calculadoras

Calculadora de progresiones aritméticas

Resultado

También te puede servir

Calculadora de progresión geométrica

Calculadora de ecuaciones de primer grado

Calculadora de combinatoria

Calculadora de ecuaciones de segundo grado

Calculadora de cifras significativas

Calculadora de intervalo de confianza

Enlaces útiles