Todo entero mayor que 1 se escribe como producto de números primos de una sola manera. 360 se descompone en 2³ × 3² × 5, es decir 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5, y no existe ninguna otra combinación de primos cuyo producto sea 360.
El procedimiento no tiene misterio: se divide entre 2 mientras la división sea exacta, después entre 3, después entre 5, y así con cada primo. Lo que sobre al final, si es mayor que 1, es también un factor primo: 1234 se queda en 2 × 617 porque 617 ya no se deja dividir por nada.
Por qué la descomposición es única
Esa unicidad es el teorema fundamental de la aritmética: la lista de primos es única salvo el orden en que se escriba. Da igual por dónde se empiece a dividir el número. Quien vea 360 como 4 × 90 y quien lo vea como 36 × 10 acaban con los mismos seis primos, 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5.
De ahí que la descomposición funcione como una huella del número: dos enteros con la misma lista son el mismo entero. Y de ahí también que el 1 no cuente como primo. Si contara, 360 admitiría infinitas descomposiciones —la misma multiplicada por uno, por uno otra vez— y la unicidad se vendría abajo.
Fracciones, MCD y MCM
Con las dos descomposiciones delante, simplificar deja de ser tanteo. 360 = 2³ × 3² × 5 y 252 = 2² × 3² × 7: los primos comunes tomados con el exponente menor dan 2² × 3² = 36, y 360/252 se reduce de una vez a 10/7.
Ese 36 es el máximo común divisor. El mínimo común múltiplo sale de la misma tabla de exponentes, cambiando la regla: cada primo con el exponente mayor, 2³ × 3² × 5 × 7 = 2520, que es el denominador que hace falta para sumar 1/360 + 1/252 = 17/2520. Por eso en los primeros cursos de la ESO la descomposición factorial se da justo antes de operar con fracciones y no después.
De dónde sale el número de divisores
El segundo resultado se lee en los exponentes. Cualquier divisor de 360 se fabrica eligiendo cuántos doses lleva —de 0 a 3—, cuántos treses —de 0 a 2— y si lleva el 5 o no lo lleva: 4 × 3 × 2 = 24 divisores, contando el 1 y el propio 360.
Sumar uno a cada exponente y multiplicar explica de paso dos rarezas. Los cuadrados perfectos tienen una cantidad impar de divisores, como el 36, que tiene 9. Y el tamaño no manda: 1024 es casi tres veces 360 y, al ser 2¹⁰, se queda en 11 divisores frente a los 24 del más pequeño.