Calculadora de sistemas de dos ecuaciones

PorOleh Soloninactualizado el 25 de septiembre de 2026

Resultado

El punto de corte está en x = 2, y = 3. El determinante vale −14.

Valor de x

Valor de y

Determinante D

-14

Cálculo

D = 2 × (−1) − 4 × 3 = −14; x = (13 × (−1) − 5 × 3) / (−14) = 2; y = (2 × 5 − 4 × 13) / (−14) = 3

El resultado es orientativo y no sustituye a una asesoría profesional.

Resuelve a₁x + b₁y = c₁ y a₂x + b₂y = c₂ con la regla de Cramer, e indica el determinante.

Un sistema de dos ecuaciones lineales pregunta por el par de valores que cumple las dos a la vez. Para 2x + 3y = 13 junto a 4x − y = 5 ese par es x = 2, y = 3: 4 y 9 suman 13, y 8 menos 3 dan 5.

Cada ecuación ax + by = c es una recta en el plano si a y b no son los dos cero, y la solución es el punto donde ambas se cortan. El determinante D = a₁·b₂ − a₂·b₁ dice si ese corte existe; aquí vale 2·(−1) − 4·3 = −14, distinto de cero, así que las rectas se cruzan en un único punto.

Cómo usar la calculadora

Ponga las dos ecuaciones en la forma ax + by = c. Todo lo que no lleva x ni y pasa al lado derecho.
Escriba los seis coeficientes fila por fila. Si en una ecuación falta una incógnita, su coeficiente es 0; si aparece solo la y, vale 1, y en −y vale −1.
Mire antes que nada el determinante: si es cero, en lugar de un punto de corte hay o ninguna solución o infinitas, y la calculadora indica cuál de los dos casos es.
Sustituya el par de valores en las dos ecuaciones de partida, no solo en una.

Cinco sistemas y su determinante

El determinante decide antes de cualquier cálculo si existe punto de corte. En cambio, su signo y su tamaño no dicen nada sobre dónde está la solución: −14 y 14 llevan igualmente a un único punto.

La segunda fila es un problema de entradas: tres adultos y dos niños pagan 61 €, un adulto y cuatro niños, 47 €. La cuarta muestra cómo se escribe una ecuación a la que le falta una incógnita — en la segunda no hay x, así que a₂ vale cero.

Todas las filas salen de la calculadora de esta página. En la última, la segunda ecuación es exactamente el doble de la primera; si a la derecha pusiera 10 en vez de 26, el determinante también sería cero, pero no habría ninguna solución.
Primera ecuación	Segunda ecuación	Determinante	Solución
2x + 3y = 13	4x − y = 5	−14	x = 2, y = 3
3x + 2y = 61	x + 4y = 47	10	x = 15, y = 8
x + y = 100	x − y = 20	−2	x = 60, y = 40
2x + 3y = 13	y = 3	2	x = 2, y = 3
2x + 3y = 13	4x + 6y = 26	0	la misma recta, infinitos pares

La regla de Cramer, paso a paso

Con el determinante ya calculado, cada incógnita sale de una división: x = (c₁·b₂ − c₂·b₁)/D e y = (a₁·c₂ − a₂·c₁)/D. Con los números de arriba, x = (13·(−1) − 5·3)/(−14) = −28/−14 = 2, e y = (2·5 − 4·13)/(−14) = −42/−14 = 3.

Sustitución, igualación y reducción llevan al mismo punto y siguen siendo lo que se enseña en la ESO. La regla de Cramer tiene la ventaja de ser mecánica: se calculan tres determinantes y se hacen dos divisiones, sin decidir qué incógnita despejar ni arrastrar fracciones por el camino.

Cuando el determinante vale cero

Que D sea cero significa que las dos rectas tienen la misma inclinación. O son paralelas y no se tocan nunca, y entonces el sistema no tiene ninguna solución, o son la misma recta escrita de dos maneras, y entonces la cumplen sus infinitos puntos. No hay término medio: nunca se pasa de un único corte a dos.

La diferencia se ve dividiendo. Con 2x + 3y = 13 y 4x + 6y = 20, la segunda equivale a 2x + 3y = 10: la misma recta desplazada, sin un solo punto en común. Si en su lugar escribiera 4x + 6y = 26, quedaría otra vez 2x + 3y = 13, la recta de partida, y la respuesta sería la recta entera.

Dos incógnitas escondidas en un problema

Tres entradas de adulto y dos de niño cuestan 37 €; dos de adulto y cuatro de niño, 38 €. Llamando x al precio del adulto e y al del niño, el sistema es 3x + 2y = 37 y 2x + 4y = 38, con D = 3·4 − 2·2 = 8.

De ahí x = (37·4 − 38·2)/8 = 72/8 = 9 e y = (3·38 − 2·37)/8 = 40/8 = 5: nueve euros la entrada de adulto y cinco la de niño. La comprobación es inmediata —27 + 10 = 37 y 18 + 20 = 38— y conviene hacerla siempre, porque el fallo habitual no está en el cálculo, sino en plantear mal las ecuaciones.

Fuentes

Ministerio de Educación, Formación Profesional y Deportes

Cifras vigentes en 2026. Los resultados son orientativos y no sustituyen el asesoramiento profesional.

Preguntas frecuentes

¿Por qué salen decimales si los datos son enteros?

Porque x e y son cocientes, y solo salen enteros cuando D divide de forma exacta al numerador. Con 2x + y = 4 y x − y = 0 el determinante es −3 y ambas incógnitas valen 4/3, es decir 1,3333. El resultado se muestra con la coma como separador decimal.

¿Y si en una de las ecuaciones falta una incógnita?

Se escribe 0 en su coeficiente. Para 3y = 12 junto a 2x + y = 9, la primera se introduce como a₁ = 0, b₁ = 3, c₁ = 12, y la solución es x = 2,5 e y = 4.

¿Sirve para tres ecuaciones con tres incógnitas?

No, esta calculadora resuelve sistemas de dos por dos. Con tres incógnitas el determinante pasa a ser de orden tres y lo habitual es aplicar el método de Gauss; también cambia la imagen geométrica, porque cada ecuación deja de ser una recta y pasa a ser un plano.

¿Qué calcula exactamente la regla de Cramer?

Forma tres determinantes: D con los coeficientes y, después, uno por incógnita sustituyendo su columna por los términos independientes. En 2x + 3y = 13 y 4x − y = 5, D = 2×(−1) − 4×3 = −14 y el numerador de x es 13×(−1) − 5×3 = −28; dividido entre −14 da x = 2. La calculadora muestra esos tres pasos en el cálculo.

¿Qué significa un determinante negativo?

Nada. Que D sea cero o no decide si la solución es única: con D ≠ 0 hay exactamente una, y con D = 0 ninguna o infinitas, según los términos independientes. El signo cambia con solo intercambiar las dos filas. Con D = −14 hay un único punto de corte, y con D = 14 también.

¿Cómo escribo una ecuación a la que le falta una incógnita?

Con coeficiente cero. Para 2x + 3y = 13 junto a y = 3 se escriben a₂ = 0, b₂ = 1 y c₂ = 3; el determinante vale 2 y la solución es x = 2, y = 3. Así también se comprueba si un valor que uno sospecha encaja de verdad en el sistema.

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