Un sistema de dos ecuaciones lineales pregunta por el par de valores que cumple las dos a la vez. Para 2x + 3y = 13 junto a 4x − y = 5 ese par es x = 2, y = 3: 4 y 9 suman 13, y 8 menos 3 dan 5.
Cada ecuación es una recta en el plano, y la solución es el punto donde ambas se cortan. El determinante D = a₁·b₂ − a₂·b₁ dice si ese corte existe; aquí vale 2·(−1) − 4·3 = −14, distinto de cero, así que las rectas se cruzan en un único punto.
La regla de Cramer, paso a paso
Con el determinante ya calculado, cada incógnita sale de una división: x = (c₁·b₂ − c₂·b₁)/D e y = (a₁·c₂ − a₂·c₁)/D. Con los números de arriba, x = (13·(−1) − 5·3)/(−14) = −28/−14 = 2, e y = (2·5 − 4·13)/(−14) = −42/−14 = 3.
Sustitución, igualación y reducción llevan al mismo punto y siguen siendo lo que se enseña en la ESO. La regla de Cramer tiene la ventaja de ser mecánica: se calculan tres determinantes y se hacen dos divisiones, sin decidir qué incógnita despejar ni arrastrar fracciones por el camino.
Cuando el determinante vale cero
Que D sea cero significa que las dos rectas tienen la misma inclinación. O son paralelas y no se tocan nunca, y entonces el sistema no tiene ninguna solución, o son la misma recta escrita de dos maneras, y entonces la cumplen sus infinitos puntos. No hay término medio: nunca se pasa de un único corte a dos.
La diferencia se ve dividiendo. Con 2x + 3y = 13 y 4x + 6y = 20, la segunda equivale a 2x + 3y = 10: la misma recta desplazada, sin un solo punto en común. Si en su lugar escribiera 4x + 6y = 26, quedaría otra vez 2x + 3y = 13, la recta de partida, y la respuesta sería la recta entera.
Dos incógnitas escondidas en un problema
Tres entradas de adulto y dos de niño cuestan 37 €; dos de adulto y cuatro de niño, 38 €. Llamando x al precio del adulto e y al del niño, el sistema es 3x + 2y = 37 y 2x + 4y = 38, con D = 3·4 − 2·2 = 8.
De ahí x = (37·4 − 38·2)/8 = 72/8 = 9 e y = (3·38 − 2·37)/8 = 40/8 = 5: nueve euros la entrada de adulto y cinco la de niño. La comprobación es inmediata —27 + 10 = 37 y 18 + 20 = 38— y conviene hacerla siempre, porque el fallo habitual no está en el cálculo, sino en plantear mal las ecuaciones.