Una receta pide 3/8 de litro de leche y la jarra viene marcada en mililitros: 3 entre 8 son 0,375, o sea 375 ml. La división se acaba en tres cifras y no queda nada que redondear.
Con 1/3 de litro la cosa cambia. Sale 0,333… y eso no termina nunca, así que en la jarra hay que quedarse en 333 ml. Esta calculadora hace la división y, además, dice a cuál de los dos casos pertenece la fracción y qué cifras se repiten.
Cuándo la división se acaba
Primero se simplifica la fracción y después se miran los factores primos del denominador. Si solo hay doses y cincos, el decimal es exacto: 3/8, con 8 = 2·2·2, da 0,375; 3/40, con 40 = 2·2·2·5, da 0,075; y 21/100, con 100 = 2·2·5·5, es exactamente 0,21, el tipo general del IVA escrito como fracción. El motivo de fondo es que diez se descompone en dos por cinco, y en las potencias de la base no cabe ningún otro primo.
En cuanto asoma otro factor —un 3, un 7, un 11— el decimal es periódico, sin excepción posible. 7/12 son 0,58333… porque 12 = 2·2·3. Y conviene simplificar antes de juzgar: 6/12 parece caer de ese mismo lado, pero se reduce a 1/2 y sale 0,5 exacto, porque el 3 desapareció al simplificar.
Cuántas cifras salen y dónde empieza el periodo
Cuando el resultado es exacto, la cantidad de decimales se sabe de antemano: es el mayor de los dos exponentes, el del 2 y el del 5. En 3/8 el denominador es 2³ y no hay cincos, de modo que salen tres cifras, 0,375. En 9/50, con denominador 2·5², manda el exponente del cinco y quedan dos: 0,18. En 7/40, con 2³·5, vuelven a ser tres: 0,175.
En el caso periódico ese mismo exponente mayor dice cuántas cifras fijas hay antes de que arranque la repetición; esas cifras son el anteperiodo. En 7/12, con 2² en el denominador, salen dos: el 0,58 que precede al 333… que ya no para. En 1/6, con un solo 2, sale una: 0,1666… El periodo en sí puede ser largo, aunque nunca tiene más cifras que el denominador menos uno: 1/7 = 0,142857… y 1/13 = 0,076923… repiten seis.
Del decimal periódico de vuelta a la fracción
El camino inverso también tiene su regla, y sirve para comprobar lo que devuelve la calculadora. Si el periodo empieza justo detrás de la coma, se escribe el periodo sobre tantos nueves como cifras tenga: 0,333… = 3/9 = 1/3, y 0,1212… = 12/99 = 4/33.
Si delante hay un anteperiodo, se resta. Se toma el número sin coma, se le quitan las cifras del anteperiodo y se divide entre tantos nueves como cifras tenga el periodo, seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo. Para 0,58333…: (583 − 58) entre 900, es decir 525/900, que simplificado vuelve a ser 7/12.