84 partes de 126 y 2 partes de 3 son exactamente la misma cantidad; la segunda forma de escribirlo solo ha quitado el ruido. Para pasar de una a otra se dividen numerador y denominador entre 42, que es el mayor número que cabe justo en los dos. Eso es toda la operación, y aquí sale en un paso junto con el divisor empleado.
El fallo habitual no es equivocarse en la cuenta, sino quedarse a medio camino: quien divide 84 y 126 entre 6 obtiene 14 entre 21 y lo da por terminado, cuando todavía admite otro corte entre 7. Una fracción está simplificada del todo cuando numerador y denominador no comparten ningún divisor salvo el 1, y entonces se lee de un vistazo: 45 minutos de una hora son 45 entre 60, es decir, tres cuartos, el 0,75 que se apunta en el parte de horas.
Qué es el máximo común divisor
Un número entero se puede repartir en partes iguales de varias maneras. El 84 admite grupos de 2, de 3, de 4, de 6, de 7, de 12, de 14, de 21, de 28 y de 42. El 126 tiene su propia lista, y algunas de esas medidas aparecen en las dos: el 2, el 3, el 6, el 7, el 14, el 21 y el 42. El máximo común divisor es sencillamente la mayor de las que valen para los dos números a la vez, aquí el 42.
Dividir entre ese número deja la fracción en su forma más corta de una sola pasada. Cualquier otro divisor común también da una fracción equivalente y correcta, pero a medio hacer, y hay que insistir hasta agotar los divisores para llegar al mismo sitio. Los cortes sucesivos entre 2, entre 3 y entre 7 acaban en dos tercios igual que el atajo, y no es casualidad: multiplicados entre sí dan 42.
El algoritmo de Euclides, contado sin fórmulas
Buscar el divisor común probando números de uno en uno funciona con cifras pequeñas y se vuelve incómodo enseguida. Con 1147 y 1271 hay que llegar hasta el 31 antes de acertar, porque ni el 2, ni el 3, ni el 5, ni el 7, ni ninguno de los primos anteriores entra justo. El método que dejó escrito Euclides hace veintitrés siglos evita toda esa búsqueda: se divide el número mayor entre el menor y se conserva únicamente el resto.
Después se repite la jugada con el menor y ese resto, una y otra vez, hasta que la división salga exacta; el último resto distinto de cero es el máximo común divisor. En el ejemplo: 1271 entre 1147 deja 124 de resto; 1147 entre 124 deja 31; y 124 entre 31 sale exacto. El divisor es, pues, 31, y la fracción se queda en 37 sobre 41. Tres pasos, y esa cuenta de pasos crece muy despacio aunque los números tengan veinte cifras: por eso es el mismo procedimiento que usa el ordenador por dentro.
Signos, ceros y tipos de IVA
El signo no altera el procedimiento. Si uno de los dos números es negativo, el resultado lo lleva delante del numerador, y menos 84 entre 126 se queda en menos dos tercios; si los dos son negativos, se cancelan y la fracción es positiva. El máximo común divisor se da siempre en positivo. El único valor prohibido es el cero en el denominador, porque repartir entre cero partes no significa nada; con el numerador a cero sí hay respuesta, y la fracción vale cero.
Los tipos de IVA dan tres ejemplos cotidianos. El 4 % es 4 entre 100 y se reduce a 1 entre 25, porque el divisor común es 4. El 10 % se queda en un décimo. El 21 %, en cambio, ya está en su forma más corta: el 21 se descompone en 3 y 7, y el 100 en doses y cincos, de modo que no tienen nada en común y la fracción no se puede acortar.