Una esfera queda definida por un solo número: el radio. Con 10 centímetros, el volumen es de 4.188,79 centímetros cúbicos —algo más de cuatro litros— y la superficie, de 1.256,64 centímetros cuadrados.
Esas dos cifras no crecen al mismo ritmo: el volumen aumenta con el cubo del radio y la superficie, solo con el cuadrado. Al pasar el radio de 10 a 20 centímetros, el volumen se multiplica por ocho y llega a 33.510,32 centímetros cúbicos, mientras que la superficie apenas se multiplica por cuatro.
Ocho veces mayor, no el doble
Un balón de fútbol reglamentario mide unos 69 centímetros de circunferencia, es decir, 10,98 centímetros de radio: por dentro caben 5,55 litros de aire y por fuera hay que coser unos 1.515 centímetros cuadrados de material.
Con el helado se ve todavía mejor. La cuchara pequeña de heladería hace bolas de 2,5 centímetros de radio, unos 65 mililitros. Una cuchara del doble de radio, 5 centímetros, no daría 130 mililitros, sino 524. Por eso una bola un poco más generosa se nota tanto en la cuenta, y por eso conviene fijarse en el radio antes que en el precio.
La forma que menos superficie necesita
De todos los cuerpos con el mismo volumen, la esfera es la que menos superficie tiene. Los 4.188,79 centímetros cúbicos del ejemplo caben igual en un cubo de 16,12 centímetros de arista, pero ese cubo necesita 1.559 centímetros cuadrados de pared frente a los 1.257 de la esfera: un 24 por ciento más.
De ahí que los depósitos de gas se construyan esféricos: menos chapa por litro almacenado y ninguna esquina donde se concentren las tensiones. Uno de un metro de radio contiene 4.188,8 litros y hay que pintar 12,57 metros cuadrados; si el radio sube a 1,20 metros, pasa a 7.238 litros, un 73 por ciento más de capacidad a cambio de un 44 por ciento más de superficie.
Por qué la bola grande se derrite más despacio
La superficie por unidad de volumen de una esfera es exactamente 3 dividido entre el radio. En la bola de 2,5 centímetros hay 1,2 centímetros cuadrados de contacto con el aire por cada centímetro cúbico de helado; en la de 5 centímetros, solo 0,6.
Como el calor entra por la superficie y el frío se guarda dentro, la bola grande tarda aproximadamente el doble en deshacerse, aunque pesa ocho veces más. La misma cuenta explica que el granizo menudo se derrita antes de llegar al suelo, que una lata se enfríe mucho antes que un bidón y que las gotas más finas de la lluvia se evaporen en el aire.