El grado divide la vuelta en 360, el gradián en 400 y el radián en 2π. Los 360 vienen de Babilonia y tienen la ventaja de admitir muchos divisores enteros; el gradián se inventó para topografía, porque así el ángulo recto son 100 justos.
El radián es la única unidad sin convención arbitraria: es el ángulo para el que el arco mide lo mismo que el radio. Por eso todo el análisis matemático trabaja con él — las derivadas del seno y el coseno solo salen bien en radianes.
La pendiente no es un ángulo
Una señal de tráfico con un diez por ciento de pendiente no indica diez grados, sino la relación entre el desnivel y el recorrido horizontal. El diez por ciento son 5,71 grados, y el cien por cien son 45 grados, no 90.
Por eso la pendiente puede pasar del cien por cien mientras que el ángulo, en ese contexto, no puede pasar de 90. La relación es la tangente: la pendiente en tanto por ciento es la tangente del ángulo multiplicada por cien.
Por qué el gradián sobrevive en topografía
Con 400 gradianes en la vuelta, el ángulo recto son exactamente 100, y el gradián se subdivide en decimal. Antes de la calculadora eso evitaba pasar continuamente de grados a minutos y segundos.
Los minutos y segundos de arco, en cambio, siguen vivos en astronomía y navegación. Un minuto de arco sobre un círculo máximo de la Tierra es aproximadamente una milla náutica, y de ahí su utilidad allí.