Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Zahl, durch die alle Eingaben ohne Rest teilbar sind; das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste Zahl, die alle als Teiler hat. Für 48, 180 und 210 sind das 6 und 5 040.
Beide lassen sich aus der Primfaktorzerlegung ablesen: Der ggT nimmt jeden gemeinsamen Primfaktor mit dem kleinsten vorkommenden Exponenten, das kgV jeden auftretenden mit dem größten.
Der euklidische Algorithmus
Für den ggT braucht es keine Zerlegung. Man teilt die größere Zahl durch die kleinere und rechnet mit dem Rest weiter, bis der Rest null ist — die letzte Zahl vor der Null ist der ggT. Aus 180 und 48 wird 48 und 36, dann 36 und 12, dann 12 und 0.
Das Verfahren ist rund 2 300 Jahre alt und immer noch das schnellste bekannte für große Zahlen. Es ist der Grund, warum ggT-Berechnungen selbst bei tausendstelligen Zahlen in Sekundenbruchteilen laufen — die Grundlage moderner Kryptografie.
Wozu man das braucht
Brüche werden mit dem ggT gekürzt und mit dem kgV auf einen gemeinsamen Nenner gebracht. Das ist die häufigste Anwendung, und beides zusammen erklärt, warum die Bruchrechnung ohne diese beiden Begriffe nicht auskommt.
Außerhalb der Schule tauchen sie beim Takten auf: Zwei Vorgänge, die alle 48 und alle 180 Sekunden starten, treffen sich alle 720 Sekunden wieder — das kgV der beiden. Verschnitt beim Zuschneiden folgt derselben Logik.