Vier Fälle sind zu unterscheiden, und die Frage nach ihnen lautet immer gleich: Zählt die Reihenfolge, und darf ein Element mehrfach vorkommen? Aus den beiden Antworten ergibt sich die Formel.
Beim Lotto sind es 49 Zahlen, aus denen sechs ohne Zurücklegen gezogen werden und deren Reihenfolge egal ist. Das ergibt 13 983 816 Möglichkeiten — die Zahl hinter der bekannten Gewinnchance.
Die vier Fälle im Überblick
Ohne Zurücklegen und mit Reihenfolge ist es n! geteilt durch (n − k)!, ohne Reihenfolge kommt noch die Division durch k! dazu — das ist der Binomialkoeffizient. Mit Zurücklegen und Reihenfolge sind es schlicht n hoch k.
Der vierte Fall, mit Zurücklegen und ohne Reihenfolge, ist der ungewohnteste: (n + k − 1) über k. Er beschreibt etwa, auf wie viele Arten sich k gleiche Kugeln auf n Schachteln verteilen lassen.
Warum die Zahlen so schnell wachsen
Die Fakultät wächst schneller als jede Potenz. 10! sind schon 3,6 Millionen, 20! übersteigen zwei Trillionen, und ab 171! ist die Grenze der Gleitkommazahlen erreicht — deshalb weist der Rechner darüber hinaus eine Meldung aus.
Der Binomialkoeffizient wird trotzdem nie so groß wie die Fakultät, weil er zweimal kürzt. Er wird deshalb multiplikativ gerechnet, nicht über drei Fakultäten — sonst würde die Zwischenrechnung überlaufen, obwohl das Ergebnis handlich ist.