Der Logarithmus beantwortet die Frage: Mit welchem Exponenten muss die Basis potenziert werden, um die Zahl zu erhalten? Der Zehnerlogarithmus von 1 000 ist 3, weil 10 hoch 3 gleich 1 000 ist.
Er ist damit die Umkehrung des Potenzierens, so wie die Division die Umkehrung der Multiplikation ist. Und er macht aus Multiplikation Addition — der Grund, warum vor dem Taschenrechner mit Logarithmentafeln gerechnet wurde.
Die drei Basen, die man dauernd trifft
Basis 10 steckt in Dezibel und im pH-Wert, Basis 2 in der Informatik — der Zweierlogarithmus sagt, wie viele Bits eine Zahl braucht. Basis e, die Eulersche Zahl, taucht überall dort auf, wo etwas stetig wächst oder zerfällt.
Der natürliche Logarithmus heißt nicht deshalb natürlich, weil er anschaulicher wäre, sondern weil seine Ableitung genau 1/x ist. Jede andere Basis schleppt einen Faktor mit, weshalb in der Analysis grundsätzlich e verwendet wird.
Der Basiswechsel
Jeder Logarithmus lässt sich in jeden anderen umrechnen: log_b(x) ist ln(x) geteilt durch ln(b). Deshalb reicht auf einem Taschenrechner ein einziger Logarithmus aus, um alle Basen abzudecken.
Praktisch heißt das auch, dass sich Logarithmen zu verschiedenen Basen nur um einen konstanten Faktor unterscheiden. Der Zweierlogarithmus ist immer das 3,32-fache des Zehnerlogarithmus, egal welche Zahl eingesetzt wird.