Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl größer als eins, die nur durch eins und sich selbst teilbar ist. Die Eins gehört nicht dazu — eine Festlegung, ohne die die eindeutige Primfaktorzerlegung nicht funktionieren würde.
Zum Prüfen genügt es, Teiler bis zur Wurzel der Zahl zu suchen. Gäbe es einen größeren, müsste sein Gegenstück kleiner als die Wurzel sein und wäre längst gefunden worden.
Warum die Eins keine Primzahl ist
Der Hauptsatz der Arithmetik besagt, dass jede natürliche Zahl über eins eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellbar ist. Wäre die Eins prim, ließe sich jede Zerlegung um beliebig viele Einsen erweitern und die Eindeutigkeit wäre dahin.
Historisch wurde das lange anders gehandhabt; noch im 19. Jahrhundert führten Tabellen die Eins als Primzahl. Die heutige Festlegung hat sich durchgesetzt, weil sie die Sätze einfacher macht — nicht, weil die Eins sich sonst irgendwie anders verhielte.
Wie die Primzahlen verteilt sind
Sie werden seltener, gehen aber nie aus — das hat Euklid bewiesen. Der Primzahlsatz präzisiert das: Bis zu einer Zahl n gibt es ungefähr n geteilt durch den natürlichen Logarithmus von n Primzahlen, bis eine Million also rund 72 000.
Die Abstände sind dabei unregelmäßig. Es gibt beliebig lange Lücken ganz ohne Primzahl, und zugleich immer wieder Paare mit Abstand zwei — ob es davon unendlich viele gibt, ist bis heute unbewiesen.