Rechner für quadratische Gleichungen

VonOleh Soloninaktualisiert 25. September 2026

Ergebnis

x² − 5x + 6 = 0 hat die Diskriminante 1: x₁ = 3, x₂ = 2.

Nullstellen

x₁ = 3, x₂ = 2

Diskriminante

1 — zwei reelle Lösungen

Scheitelpunkt

(2,5 | −0,25) — Minimum, die Parabel ist nach oben geöffnet

Faktorisierte Form

(x − 3)(x − 2)

Probe nach Vieta

Summe 5 = −b/a, Produkt 6 = c/a

Rechenweg

D = b² − 4ac = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 1; x = (5 ± √1) / (2 · 1) → x₁ = 3, x₂ = 2

Das Ergebnis ist ein Richtwert und ersetzt keine Beratung.

Nullstellen von ax² + bx + c mit Diskriminante, Scheitelpunkt und Faktorisierung.

Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0. Ob sie zwei, eine oder keine reelle Lösung hat, entscheidet allein die Diskriminante b² − 4ac: positiv zwei, null eine, negativ keine.

Für x² − 5x + 6 ist die Diskriminante 25 − 24 = 1. Die Lösungen sind 3 und 2, und die Gleichung lässt sich als (x − 3)(x − 2) schreiben.

So benutzen Sie den Rechner

Bringen Sie die Gleichung zuerst auf die Form ax² + bx + c = 0: Alles kommt auf die linke Seite, rechts bleibt die Null. Aus x² − 5x = −6 wird so x² − 5x + 6 = 0.
Tragen Sie a, b und c mit Vorzeichen ein. Steht vor dem x² keine Zahl, ist a gleich 1; fehlt das Glied mit x, ist b gleich 0.
Lesen Sie zuerst die Diskriminante ab. Ihr Vorzeichen sagt, ob es zwei, eine oder keine reelle Lösung gibt, noch bevor eine Nullstelle ausgerechnet ist.
Kontrollieren Sie das Ergebnis mit dem Satz von Vieta: Die Summe der Lösungen muss −b/a ergeben, ihr Produkt c/a.

Sechs Gleichungen und was die Diskriminante über sie verrät

Die Diskriminante steht am Anfang der Lösung, nicht am Ende. Ist sie positiv, schneidet die Parabel die x-Achse zweimal; ist sie null, berührt sie die Achse in genau einem Punkt; ist sie negativ, bleibt die Parabel vollständig darüber oder darunter.

Auch der Abstand der beiden Nullstellen steckt in ihr: Er beträgt die Wurzel aus D, geteilt durch den Betrag von a. In der vierten Zeile sind das 5 geteilt durch 2, also 2,5 — und tatsächlich liegen 3 und 0,5 genau um 2,5 auseinander.

Alle Zeilen stammen aus dem Rechner dieser Seite. Die fünfte zeigt den häufigsten Fehler bei Gleichungen ohne x-Glied: Notiert wird oft nur die 4, obwohl −4 die Gleichung genauso erfüllt.
Gleichung	Diskriminante	Nullstellen	Faktorisierte Form
x² − 5x + 6 = 0	1	3 und 2	(x − 3)(x − 2)
x² − 6x + 9 = 0	0	3, doppelt	(x − 3)²
x² + 2x + 5 = 0	−16	keine reelle	reell nicht faktorisierbar
2x² − 7x + 3 = 0	25	3 und 0,5	2 · (x − 3)(x − 0,5)
x² − 16 = 0	64	4 und −4	(x − 4)(x + 4)
x² + x − 6 = 0	25	2 und −3	(x − 2)(x + 3)

Mitternachtsformel oder pq-Formel

Die Mitternachtsformel arbeitet direkt mit a, b und c und funktioniert immer. Die pq-Formel setzt voraus, dass durch a geteilt wurde, sodass vor x² eine Eins steht — sie ist kürzer, aber nur nach dieser Normierung anwendbar.

Beide liefern dasselbe Ergebnis, weil die pq-Formel nichts anderes ist als die Mitternachtsformel nach Division durch a. Wer sich für eine entscheidet, sollte das aus Gewohnheit tun, nicht aus der Annahme, eine sei genauer.

Der Satz von Vieta als Probe

Bei normierter Form ist die Summe der Lösungen gleich −p und ihr Produkt gleich q. Für x² − 5x + 6 heißt das: 3 plus 2 ergibt 5, und 3 mal 2 ergibt 6 — beides passt zu den Koeffizienten.

Das ist die schnellste Kontrolle nach jeder Rechnung und bei ganzzahligen Lösungen oft auch der schnellste Weg zur Lösung selbst. Welche zwei Zahlen ergeben addiert 5 und multipliziert 6? Die Antwort steht meist vor dem ersten Formelaufruf fest.

Quellen

Deutsche Mathematiker-Vereinigung

Stand der Werte: 2026. Die Ergebnisse sind Orientierungswerte und ersetzen keine fachliche Beratung.

Häufige Fragen

Was bedeutet eine negative Diskriminante?

Die Parabel schneidet die x-Achse nicht — reelle Lösungen gibt es keine. In den komplexen Zahlen existieren trotzdem zwei Lösungen, die sich nur um das Vorzeichen des Imaginärteils unterscheiden; der Rechner gibt sie mit an.

Was passiert, wenn a null ist?

Dann ist die Gleichung nicht mehr quadratisch, sondern linear: bx + c = 0 mit der einzigen Lösung −c/b, sofern b nicht null ist; ist auch b null, gibt es für c = 0 unendlich viele Lösungen und sonst keine. Der Rechner erkennt das und löst die lineare Gleichung, statt eine Fehlermeldung auszugeben.

Wie weit liegen die beiden Nullstellen auseinander?

Ihr Abstand ist die Wurzel aus der Diskriminante, geteilt durch den Betrag von a. Bei 2x² − 7x + 3 = 0 ist D = 25, die Wurzel also 5 und der Abstand 5 geteilt durch 2, das sind 2,5. Die Lösungen 3 und 0,5 bestätigen das. Bei D = 0 ist der Abstand null — deshalb heißt diese Lösung doppelt.

Wofür ist der Scheitelpunkt gut?

Er ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel und liegt bei −b/(2a) — genau in der Mitte zwischen den Nullstellen. Für x² − 5x + 6 ist das 2,5, die Mitte zwischen 2 und 3; der Wert dort ist −0,25 und damit das Minimum des ganzen Terms. Bei Sachaufgaben nach dem größten Gewinn oder der größten Fläche wird genau dieser Punkt gesucht.

Wie komme ich von den Nullstellen zur faktorisierten Form?

Jede Nullstelle liefert einen Faktor (x − Nullstelle); bei a ungleich 1 kommt a als Vorfaktor davor. Aus 3 und 2 wird (x − 3)(x − 2), aus 3 und 0,5 bei a = 2 entsprechend 2 · (x − 3)(x − 0,5). Die Probe ist das Ausmultiplizieren: Es muss wieder die Ausgangsgleichung herauskommen.

Lässt sich damit auch x² = 16 lösen?

Ja, nach einem Zwischenschritt: Erst alles auf eine Seite bringen, also x² − 16 = 0, und dann a = 1, b = 0, c = −16 eintragen. Die Lösungen sind 4 und −4. Wer direkt die Wurzel zieht, notiert häufig nur die 4 und verliert die zweite Lösung.

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