Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0. Ob sie zwei, eine oder keine reelle Lösung hat, entscheidet allein die Diskriminante b² − 4ac: positiv zwei, null eine, negativ keine.
Für x² − 5x + 6 ist die Diskriminante 25 − 24 = 1. Die Lösungen sind 3 und 2, und die Gleichung lässt sich als (x − 3)(x − 2) schreiben.
Mitternachtsformel oder pq-Formel
Die Mitternachtsformel arbeitet direkt mit a, b und c und funktioniert immer. Die pq-Formel setzt voraus, dass durch a geteilt wurde, sodass vor x² eine Eins steht — sie ist kürzer, aber nur nach dieser Normierung anwendbar.
Beide liefern dasselbe Ergebnis, weil die pq-Formel nichts anderes ist als die Mitternachtsformel nach Division durch a. Wer sich für eine entscheidet, sollte das aus Gewohnheit tun, nicht aus der Annahme, eine sei genauer.
Der Satz von Vieta als Probe
Bei normierter Form ist die Summe der Lösungen gleich −p und ihr Produkt gleich q. Für x² − 5x + 6 heißt das: 3 plus 2 ergibt 5, und 3 mal 2 ergibt 6 — beides passt zu den Koeffizienten.
Das ist die schnellste Kontrolle nach jeder Rechnung und bei ganzzahligen Lösungen oft auch der schnellste Weg zur Lösung selbst. Welche zwei Zahlen ergeben addiert 5 und multipliziert 6? Die Antwort steht meist vor dem ersten Formelaufruf fest.