Die Wurzel ist die Umkehrung der Potenz: Die Quadratwurzel aus 81 ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 81 ergibt. Deshalb steht unter jedem Ergebnis hier auch die Probe — sie ist die eigentliche Definition.
Ungerade Wurzeln vertragen negative Zahlen, gerade nicht: Die dritte Wurzel aus −8 ist −2, die zweite aus −4 existiert im Reellen nicht. Der Rechner sagt das, statt eine Zahl zu erfinden.
Wann die Wurzel glatt aufgeht
Nur bei Quadratzahlen: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 und so weiter. Alles dazwischen ergibt eine irrationale Zahl, die kein Bruch je genau trifft — die Wurzel aus 2 hat unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode.
Deshalb nennt der Rechner die beiden benachbarten Quadratzahlen: Wer weiß, dass 50 zwischen 49 und 64 liegt, weiß auch, dass die Wurzel knapp über 7 liegen muss. Das ist die Kontrolle, die man im Kopf machen kann.
Warum es zwei Lösungen gibt und der Rechner eine nennt
Sowohl 9 als auch −9 ergeben quadriert 81. Das Wurzelzeichen bezeichnet aber vereinbarungsgemäß nur die nicht negative Lösung, sonst wäre es keine Funktion.
Beim Lösen einer Gleichung wie x² = 81 zählen dagegen beide Vorzeichen. Das ist kein Widerspruch, sondern der Unterschied zwischen dem Wurzelzeichen und dem Auflösen einer Gleichung.