Wurzelrechner

VonOleh Soloninaktualisiert 25. September 2026

Ergebnis

Die Quadratwurzel aus 81 ist 9.

Wurzel

Probe

9 · 9 = 81

Art des Ergebnisses

ganzzahlig — die Wurzel geht glatt auf

Nächste Quadratzahlen

9 hoch 2 ist genau 81

Rechenweg

2. Wurzel aus 81 = 9; Probe: 9 hoch 2 = 81

Das Ergebnis ist ein Richtwert und ersetzt keine Beratung.

Quadratwurzel, Kubikwurzel und beliebige n-te Wurzel — mit Probe und der Frage, ob das Ergebnis überhaupt rational ist.

Die Wurzel ist die Umkehrung der Potenz: Die Quadratwurzel aus 81 ist die Zahl, die mit sich selbst multipliziert 81 ergibt. Deshalb steht unter jedem Ergebnis hier auch die Probe — sie ist die eigentliche Definition.

Ungerade Wurzeln vertragen negative Zahlen, gerade nicht: Die dritte Wurzel aus −8 ist −2, die zweite aus −4 existiert im Reellen nicht. Der Rechner sagt das, statt eine Zahl zu erfinden.

So benutzen Sie den Rechner

Tragen Sie den Radikanden ein — die Zahl unter der Wurzel.
Tragen Sie den Grad ein: 2 für die Quadratwurzel, 3 für die Kubikwurzel.
Lesen Sie Wurzel, Probe und Einordnung ab.

Glatt oder irrational

Manche Wurzeln gehen auf: √81 ist 9, und die dritte Wurzel aus 27 ist 3. Die meisten tun es nicht — √32 ist 5,656854…, eine Zahl mit unendlich vielen, nie abbrechenden Nachkommastellen.

Eine Wurzel ist zugleich eine Potenz mit gebrochenem Exponenten: √32 ist 32^0,5. Deshalb braucht es für Kubik- und höhere Wurzeln keine eigene Rechenart, sondern nur einen anderen Nenner im Exponenten.

Mit diesem Rechner gerechnet.
Wurzel	Wert	Art
√81	9	geht glatt auf
√32	5,656854	irrational
∛27	3	geht glatt auf
√2	1,414214	irrational

Wann die Wurzel glatt aufgeht

Bei ganzen Zahlen nur bei Quadratzahlen: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 und so weiter. Jede andere natürliche Zahl hat eine irrationale Wurzel, die kein Bruch je genau trifft — die Wurzel aus 2 hat unendlich viele Nachkommastellen ohne Periode. Bei Dezimalzahlen kann die Wurzel auch ohne ganze Zahl aufgehen: √2,25 = 1,5. Für die dritte Wurzel gilt dasselbe mit Kubikzahlen wie 27.

Deshalb nennt der Rechner die beiden benachbarten Quadratzahlen: Wer weiß, dass 50 zwischen 49 und 64 liegt, weiß auch, dass die Wurzel knapp über 7 liegen muss. Das ist die Kontrolle, die man im Kopf machen kann.

Warum es zwei Lösungen gibt und der Rechner eine nennt

Sowohl 9 als auch −9 ergeben quadriert 81. Das Wurzelzeichen bezeichnet aber vereinbarungsgemäß nur die nicht negative Lösung, sonst wäre es keine Funktion.

Beim Lösen einer Gleichung wie x² = 81 zählen dagegen beide Vorzeichen. Das ist kein Widerspruch, sondern der Unterschied zwischen dem Wurzelzeichen und dem Auflösen einer Gleichung.

Quellen

DIN 1302 — Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe

Stand der Werte: 2026. Die Ergebnisse sind Orientierungswerte und ersetzen keine fachliche Beratung.

Häufige Fragen

Wie ziehe ich eine Wurzel ohne Rechner?

Mit dem Heron-Verfahren: schätzen, teilen, mitteln. Für die Wurzel aus 50 schätzt man 7, rechnet 50 ÷ 7 = 7,14 und nimmt den Mittelwert 7,07. Eine Wiederholung genügt meist auf drei Stellen genau.

Was bedeutet eine Wurzel mit gebrochenem Exponenten?

Die n-te Wurzel ist dasselbe wie die Potenz mit dem Exponenten 1/n. Die Kubikwurzel aus 8 ist 8 hoch ein Drittel — deshalb rechnet dieser Rechner intern mit Potenzen und nicht mit einem Wurzelverfahren.

Warum geht die Wurzel aus einer negativen Zahl nicht?

Bei geradem Exponenten nicht: Jede reelle Zahl ergibt quadriert null oder etwas Positives, also kann kein Quadrat negativ sein. Bei ungeradem Exponenten geht es sehr wohl, weil eine negative Zahl dreimal mit sich multipliziert negativ bleibt.

Wie viel ist die Wurzel aus 81?

Genau 9, denn 9 · 9 ergibt 81. Der Rechner führt die Probe gleich mit.

Wann geht eine Wurzel nicht auf?

Wenn der Radikand keine Potenz des Wurzelgrades ist. √32 ergibt 5,656854… und lässt sich als Dezimalzahl nie exakt aufschreiben.

Wie hängt die Wurzel mit Potenzen zusammen?

Sie ist eine Potenz mit gebrochenem Exponenten: √32 ist 32^0,5 und ∛27 ist 27^(1/3). Genau so rechnet der Computer sie aus.

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