Ein Bruchstrich ist nichts anderes als ein Geteiltzeichen: 3/8 heißt drei geteilt durch acht, und das ergibt genau 0,375. Bei 5/12 bricht dieselbe Rechnung dagegen nie ab – 0,41666… mit einer Sechs, die sich ohne Ende wiederholt.
Welcher der beiden Fälle eintritt, entscheidet allein der Nenner, und zwar schon bevor man mit dem Teilen anfängt. Der Rechner gibt deshalb neben der Dezimalzahl auch die Periode aus, also die Ziffernfolge, die sich wiederholt.
Wann eine Dezimalzahl abbricht
Kürzen Sie den Bruch so weit wie möglich und zerlegen Sie dann den Nenner in Primfaktoren. Bleiben nur Zweien und Fünfen übrig, bricht die Dezimalzahl ab. Taucht irgendein anderer Primfaktor auf – eine 3, eine 7, eine 11 –, läuft sie periodisch weiter. Eine dritte Möglichkeit gibt es nicht.
Der Grund steckt im Stellenwertsystem: Jede Nachkommastelle ist ein Zehntel, ein Hundertstel, ein Tausendstel, und 10 = 2 · 5. Ein Bruch lässt sich also genau dann auf eine Zehnerpotenz erweitern, wenn sein Nenner selbst nur aus Zweien und Fünfen besteht. Aus 3/8 wird so 375/1000, für 1/3 gibt es keine solche Erweiterung.
Erst kürzen, dann urteilen
Die Regel gilt für den gekürzten Bruch, und das ist keine Formalie. 21/24 sieht mit der 3 im Nenner nach einer periodischen Zahl aus, gekürzt ist es aber 7/8 und damit glatte 0,875. Umgekehrt macht kein Kürzen aus 1/6 eine abbrechende Zahl, weil die 3 im Nenner stehen bleibt.
Wie viele Nachkommastellen eine abbrechende Dezimalzahl hat, verrät derselbe Blick: so viele, wie der häufigere der beiden Faktoren 2 und 5 vorkommt. 7/20 hat wegen 20 = 2 · 2 · 5 zwei Stellen und ergibt 0,35; 9/40 hat wegen 40 = 2 · 2 · 2 · 5 drei Stellen und ergibt 0,225.
Wie lang eine Periode werden kann
Beim schriftlichen Teilen können nur endlich viele Reste auftreten – beim Nenner 7 sind es die Reste 1 bis 6. Spätestens im siebten Schritt muss sich einer davon wiederholen, und von da an wiederholt sich die ganze Ziffernfolge. Länger als der Nenner minus 1 wird eine Periode deshalb nie.
1/7 schöpft diese Grenze aus: 0,142857142857… mit sechs Ziffern. 1/13 bleibt mit 076923 ebenfalls bei sechs, obwohl zwölf möglich wären, und 1/11 kommt mit 09 aus. Stecken neben der 3 oder der 7 noch Zweien oder Fünfen im Nenner, schiebt sich eine Vorperiode davor: 5/12 ergibt 0,41666… – zwei feste Stellen, dann wiederholt sich allein die Sechs.