84/126 und 2/3 sind dieselbe Zahl, nur unterschiedlich aufgeschrieben. Zähler und Nenner lassen sich beide durch 42 teilen, und übrig bleibt ein Bruch, an dem sich nichts mehr kürzen lässt.
Der Rechner nimmt einen beliebigen Bruch entgegen und gibt neben dem Ergebnis auch die Zahl aus, mit der gekürzt wurde. Wer den Weg selbst gehen möchte, findet ihn unten in Worten beschrieben — er kommt ohne Ausprobieren aus.
Was der größte gemeinsame Teiler leistet
Kürzen heißt, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl zu teilen. Bei 84/126 geht das mehrfach hintereinander: durch 2 wird daraus 42/63, durch 3 wird daraus 14/21, und durch 7 bleibt am Ende 2/3.
Genau diese Zwischenschritte erspart der größte gemeinsame Teiler. Er ist das Produkt dieser Teiler — 2 mal 3 mal 7 ergibt 42 — und teilt in einem Zug so weit, wie es überhaupt möglich ist. Wer stattdessen mit kleinen Zahlen kürzt, kommt am Ende zum selben Ergebnis, übersieht aber leicht einen gemeinsamen Teiler und gibt einen Bruch ab, der noch nicht fertig gekürzt ist.
Der euklidische Algorithmus, in Worten
Man teilt die größere der beiden Zahlen durch die kleinere und behält nur den Rest. 84 passt einmal in 126, es bleibt ein Rest von 42. Dasselbe wiederholt man mit dem bisherigen Teiler und dem Rest, also mit 84 und 42: 84 geteilt durch 42 geht genau zweimal auf, der Rest ist null. Der letzte Rest, der nicht null war, ist der gesuchte Teiler — hier also die 42.
Dass das Verfahren zum Ziel führt, liegt an einer schlichten Beobachtung: Jede Zahl, die sowohl 126 als auch 84 teilt, teilt auch deren Differenz von 42. In jedem Schritt fällt also Ballast weg, ohne dass ein gemeinsamer Teiler verloren geht. Selbst bei sechsstelligen Zahlen ist man nach wenigen Durchgängen fertig; deshalb rechnet auch dieser Rechner so, statt sämtliche Teiler der Reihe nach durchzuprobieren.
Gekürzte Brüche außerhalb des Mathehefts
Ein Bildschirm mit 1920 mal 1080 Bildpunkten hat das Seitenverhältnis 16 zu 9, denn man teilt beide Zahlen durch ihren größten gemeinsamen Teiler 120. Aus 45 von 60 Minuten wird eine Dreiviertelstunde, weil in beiden Zahlen die 15 steckt.
Auch der Weg von der Dezimalzahl zurück zum Bruch führt dorthin: 0,75 ist nichts anderes als 75/100 und damit 3/4. Überall dort, wo Verhältnisse eine Rolle spielen — Übersetzungen am Fahrrad, Mischungsverhältnisse, Maßstäbe auf Karten —, ist die gekürzte Form die einzige, in der sich zwei Angaben auf einen Blick vergleichen lassen.