Der Abstand zweier Punkte ist die Länge der Strecke zwischen ihnen. Von (0 | 0) nach (3 | 4) sind es genau 5: waagerecht liegen 3 dazwischen, senkrecht 4, und 3² + 4² = 25 hat die Wurzel 5.
Dahinter steckt nur der Satz des Pythagoras, in Koordinaten geschrieben. Der Mittelpunkt ist nichts weiter als der Mittelwert je Koordinate: beide x-Werte gemittelt, beide y-Werte gemittelt — im Beispiel (1,5 | 2).
Das Dreieck, das man nicht sieht
Zeichnen Sie den Weg von A nach B in zwei Schritten: erst 3 nach rechts, dann 4 nach oben. An der Ecke bei (3 | 0) sitzt ein rechter Winkel, die beiden Differenzen sind die Katheten, und die direkte Verbindung ist die Hypotenuse.
Die Summe der Quadrate ergibt zunächst das Quadrat der gesuchten Länge, deshalb steht am Schluss die Wurzel. Bei Differenzen von 5 und 12 sind das 25 + 144 = 169 und damit ein Abstand von 13.
Warum die Reihenfolge der Punkte egal ist
Vertauscht man A und B, wechseln beide Differenzen das Vorzeichen: von (3 | 4) nach (0 | 0) sind es −3 und −4. Das Quadrieren löscht das Vorzeichen, 9 + 16 bleibt 25, und der Abstand bleibt 5.
Sie müssen sich also nicht überlegen, welcher Punkt weiter links oder weiter unten liegt. Aus demselben Grund ist ein Abstand nie negativ; und wenn man beide Punkte um dasselbe Stück in dieselbe Richtung verschiebt, bleibt er gleich: von (10 | 20) nach (13 | 24) sind es wieder 5.
Wenn die Koordinaten Meter sind
Auf dem Bau heißt dieselbe Rechnung Diagonalmaß. Ein Fundament von 3 auf 4 Metern ist genau dann rechtwinklig, wenn die Diagonale 5 Meter misst — die alte Zwölfknotenschnur nutzt nichts anderes, denn 3 + 4 + 5 ergibt zwölf gleiche Abschnitte.
Bei Karten funktioniert die Formel nur mit ebenen Koordinaten in Metern, wie sie das amtliche System ETRS89/UTM liefert: 300 Meter Unterschied im Rechtswert und 400 im Hochwert ergeben 500 Meter Luftlinie. Mit Längen- und Breitengraden rechnet man so nicht, weil ein Längengrad auf der Breite von Kassel nur rund 70 Kilometer misst, ein Breitengrad aber überall gut 111.