Aus 50 Messwerten ergibt sich ein Mittelwert von 100 bei einer Standardabweichung von 15. Das 95-%-Konfidenzintervall reicht dann von 95,84 bis 104,16, die Fehlergrenze beträgt 4,16 — gerechnet als 1,960 · 15 / √50.
Der Mittelwert einer Stichprobe ist eine Schätzung und kein exakter Wert: Eine zweite Stichprobe hätte eine andere Zahl geliefert. Das Intervall zeigt diesen Spielraum an. Wie breit er ausfällt, hängt an genau drei Größen — der Streuung der Werte, dem Umfang der Stichprobe und dem gewählten Niveau.
Was die 95 Prozent tatsächlich aussagen
Die Zahl beschreibt das Verfahren, nicht das eine Intervall, das gerade vor Ihnen steht. Zöge man die Stichprobe hundertmal und rechnete jedes Mal auf dieselbe Weise, dann schlössen rund 95 dieser hundert Intervalle den wahren Mittelwert der Grundgesamtheit ein und etwa fünf verfehlten ihn. Zu welcher Gruppe Ihr Ergebnis gehört, verrät es nicht.
Der Satz „mit 95 Prozent Wahrscheinlichkeit liegt der wahre Mittelwert zwischen 95,84 und 104,16“ ist deshalb falsch, so häufig er auch geschrieben wird. Der wahre Mittelwert ist eine feste Zahl; er liegt in diesem Intervall oder eben nicht. Zufällig sind die Grenzen — nicht das, was sie einschließen.
Vierfacher Umfang, halbe Breite
Im Nenner steht die Wurzel aus n, nicht n selbst. Für das Beispiel mit 50 Werten liegt die Fehlergrenze bei 4,16; bei 200 Werten sind es 2,08 und erst bei 800 Werten 1,04. Jede Halbierung der Breite kostet also das Vierfache an Daten.
Das erklärt, warum Erhebungen ab einer gewissen Größe kaum noch wachsen: Der Schritt von 1 000 auf 4 000 Befragte halbiert die Fehlergrenze, der von 4 000 auf 16 000 halbiert sie erneut — bei jeweils vervierfachtem Aufwand. Eine geringere Streuung in den Daten wirkt dagegen linear und ist meist günstiger zu erreichen, etwa über ein sauberer definiertes Messverfahren. Aus demselben Grund weisen amtliche Erhebungen ihre Ergebnisse nicht als blanke Zahl aus, sondern mit Angaben zur Genauigkeit.
z oder t — wann dieser Rechner ein zu schmales Intervall liefert
Die Werte 1,645, 1,960 und 2,576 stammen aus der Normalverteilung und gelten streng genommen nur, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt ist. In der Praxis wird sie aus derselben Stichprobe geschätzt. Diese zusätzliche Unsicherheit fängt die t-Verteilung auf, deren Werte vom Stichprobenumfang abhängen.
Bei 50 Werten fällt der Unterschied kaum ins Gewicht: Statt 1,960 stünde dort 2,010, und die Fehlergrenze wüchse von 4,16 auf 4,26. Bei nur 10 Werten liegt der t-Wert dagegen bei 2,262, und ein mit z gerechnetes Intervall wäre spürbar zu schmal. Ab etwa 30 Werten ist die Abweichung für die meisten Zwecke vernachlässigbar, darunter sollten Sie mit der t-Verteilung rechnen.