Konfidenzintervall-Rechner

VonOleh Soloninaktualisiert 25. September 2026

Ergebnis

Das 95-%-Intervall reicht von 95,84 bis 104,16, die Fehlergrenze beträgt 4,16. Die Prozentzahl beschreibt das Verfahren, nicht dieses eine Intervall.

Untere Grenze

95,84

Obere Grenze

104,16

Fehlergrenze (±)

4,16

Rechenweg

Standardfehler 15 ÷ √50 = 2,12; Fehlergrenze 1,960 · 2,12 = 4,16; Intervall 100 ± 4,16

Das Ergebnis ist ein Richtwert und ersetzt keine Beratung.

Konfidenzintervall für den Mittelwert aus Standardabweichung und Stichprobenumfang — 90, 95 oder 99 %.

Aus 50 Messwerten ergibt sich ein Mittelwert von 100 bei einer Standardabweichung von 15. Das 95-%-Konfidenzintervall reicht dann von 95,84 bis 104,16, die Fehlergrenze beträgt 4,16 — gerechnet als 1,960 · 15 / √50.

Der Mittelwert einer Stichprobe ist eine Schätzung und kein exakter Wert: Eine zweite Stichprobe hätte eine andere Zahl geliefert. Das Intervall zeigt diesen Spielraum an. Wie breit er ausfällt, hängt an genau drei Größen — der Streuung der Werte, dem Umfang der Stichprobe und dem gewählten Niveau.

So benutzen Sie den Rechner

Tragen Sie den Mittelwert Ihrer Stichprobe ein — den Durchschnitt der tatsächlich erhobenen Werte.
Ergänzen Sie die Standardabweichung der Einzelwerte und den Stichprobenumfang n. Den Standardfehler bildet der Rechner selbst.
Wählen Sie das Konfidenzniveau. Ein höheres Niveau liefert ein breiteres Intervall, kein genaueres Ergebnis.

Wie die Fehlergrenze mit dem Stichprobenumfang fällt

Die Fehlergrenze fällt mit der Wurzel aus n, nicht mit n selbst. Vier Mal so viele Messungen halbieren sie also nur. Von n = 100 auf n = 400 zu gehen kostet dreihundert zusätzliche Beobachtungen und bringt 1,47 statt 2,94 — jede weitere Halbierung wird dadurch noch teurer.

Das Konfidenzniveau wirkt anders: Es verbreitert das Intervall, ohne die Daten zu verändern. Bei denselben fünfzig Messungen ergibt 90 % eine Grenze von ±3,49, 95 % von ±4,16 und 99 % von ±5,46. Ein höheres Niveau bedeutet mehr Vorsicht, nicht mehr Wissen.

Gerechnet mit einem Mittelwert von 100, einer Standardabweichung von 15 und z = 1,960. Bei 10 und 25 Werten ist diese Näherung zu schmal: Mit der t-Verteilung wären es ± 10,73 und ± 6,19. Die Zeilen 100 und 400 zeigen die Wurzelregel unmittelbar: vierfacher Umfang, halbe Fehlergrenze.
Stichprobenumfang n	Fehlergrenze (95 %)	Intervall
10	± 9,30	90,70 … 109,30
25	± 5,88	94,12 … 105,88
50	± 4,16	95,84 … 104,16
100	± 2,94	97,06 … 102,94
400	± 1,47	98,53 … 101,47
1000	± 0,93	99,07 … 100,93

Was die 95 Prozent tatsächlich aussagen

Die Zahl beschreibt das Verfahren, nicht das eine Intervall, das gerade vor Ihnen steht. Zöge man die Stichprobe hundertmal und rechnete jedes Mal auf dieselbe Weise, dann schlössen rund 95 dieser hundert Intervalle den wahren Mittelwert der Grundgesamtheit ein und etwa fünf verfehlten ihn. Zu welcher Gruppe Ihr Ergebnis gehört, verrät es nicht.

Der Satz „mit 95 Prozent Wahrscheinlichkeit liegt der wahre Mittelwert zwischen 95,84 und 104,16“ ist deshalb falsch, so häufig er auch geschrieben wird. Der wahre Mittelwert ist eine feste Zahl; er liegt in diesem Intervall oder eben nicht. Zufällig sind die Grenzen — nicht das, was sie einschließen.

Vierfacher Umfang, halbe Breite

Im Nenner steht die Wurzel aus n, nicht n selbst. Für das Beispiel mit 50 Werten liegt die Fehlergrenze bei 4,16; bei 200 Werten sind es 2,08 und erst bei 800 Werten 1,04. Jede Halbierung der Breite kostet also das Vierfache an Daten.

Das erklärt, warum Erhebungen ab einer gewissen Größe kaum noch wachsen: Der Schritt von 1 000 auf 4 000 Befragte halbiert die Fehlergrenze, der von 4 000 auf 16 000 halbiert sie erneut — bei jeweils vervierfachtem Aufwand. Eine geringere Streuung in den Daten wirkt dagegen linear und ist meist günstiger zu erreichen, etwa über ein sauberer definiertes Messverfahren. Aus demselben Grund weisen amtliche Erhebungen ihre Ergebnisse nicht als blanke Zahl aus, sondern mit Angaben zur Genauigkeit.

z oder t — wann dieser Rechner ein zu schmales Intervall liefert

Die Werte 1,645, 1,960 und 2,576 stammen aus der Normalverteilung und gelten streng genommen nur, wenn die Standardabweichung der Grundgesamtheit bekannt ist. In der Praxis wird sie aus derselben Stichprobe geschätzt. Diese zusätzliche Unsicherheit fängt die t-Verteilung auf, deren Werte vom Stichprobenumfang abhängen.

Bei 50 Werten fällt der Unterschied kaum ins Gewicht: Statt 1,960 stünde dort 2,010, und die Fehlergrenze wüchse von 4,16 auf 4,26. Bei nur 10 Werten liegt der t-Wert dagegen bei 2,262, und ein mit z gerechnetes Intervall wäre spürbar zu schmal. Mit wachsender Stichprobe wird die Abweichung kleiner — bei 30 Werten und 95 % wäre das t-Intervall noch rund 4 % breiter —, verschwindet aber nicht: Ist die Standardabweichung aus der Stichprobe geschätzt, ist bei normalverteilten Daten das t-Intervall mit n − 1 Freiheitsgraden das richtige.

Quellen

Serlo — freie Lernplattform für Mathematik

Stand der Werte: 2026. Die Ergebnisse sind Orientierungswerte und ersetzen keine fachliche Beratung.

Häufige Fragen

Sagt das Intervall etwas über einzelne Messwerte?

Nein, es beschreibt allein, wie genau der Mittelwert getroffen ist. Wo die Einzelwerte liegen, zeigt die Standardabweichung: Bei annähernd normalverteilten Daten fallen rund zwei Drittel von ihnen in den Bereich 100 ± 15, also zwischen 85 und 115 — deutlich weiter auseinander als die Grenzen 95,84 und 104,16.

Warum wird das Intervall bei 99 Prozent breiter?

Weil mehr Sicherheit nur über mehr Spielraum zu haben ist. Bei denselben Daten wächst die Fehlergrenze von 3,49 bei 90 Prozent über 4,16 bei 95 Prozent auf 5,46 bei 99 Prozent. Ein Intervall mit hundertprozentiger Abdeckung wäre unendlich breit und damit ohne jede Aussage.

Müssen die Daten normalverteilt sein?

Bei kleinen Stichproben ja, sonst passen die z- und t-Werte nicht. Bei größerem Umfang sorgt der zentrale Grenzwertsatz dafür, dass der Mittelwert selbst annähernd normalverteilt ist, auch wenn es die Einzelwerte nicht sind. Bei stark schiefen Verteilungen oder einzelnen Ausreißern braucht es dafür allerdings weit mehr als die oft genannten 30 Werte.

Was heißt „95 Prozent“ hier genau?

Es beschreibt das Verfahren, nicht dieses eine Intervall. Wiederholte man die Erhebung sehr oft und bildete jedes Mal ein solches Intervall, enthielten rund 95 Prozent davon den wahren Wert. Über das vorliegende Intervall sagt die Zahl nichts: Entweder es enthält ihn oder nicht.

Standardabweichung oder Standardfehler — was gehört ins Feld?

Die Standardabweichung der Einzelwerte. Den Standardfehler bildet der Rechner daraus selbst, indem er durch die Wurzel aus n teilt: Bei 15 und n = 50 sind das 2,12. Wer versehentlich den Standardfehler einträgt, erhält ein viel zu schmales Intervall.

Wie viele Messungen brauche ich für eine bestimmte Genauigkeit?

Weil die Fehlergrenze mit der Wurzel aus n fällt, vervierfacht eine halb so breite Grenze den Aufwand. Von ±2,94 bei n = 100 auf ±1,47 zu kommen, verlangt n = 400. Der Sprung von ±1,47 auf ±0,74 bräuchte dann schon 1.600 Messungen.

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