Eine arithmetische Folge wächst in gleich großen Schritten: Zu jedem Glied kommt dieselbe Differenz d hinzu. Beginnt sie bei 2 und steigt um 3, lauten die Glieder 2, 5, 8, 11 — und das zehnte ist 2 + 9 · 3 = 29.
Für die Summe müssen die Glieder nicht einzeln addiert werden. Die ersten zehn ergeben zusammen 10 · (2 + 29) / 2 = 155, und dafür genügen das erste Glied, das letzte und ihre Anzahl.
Der Kniff von Gauß: die Reihe zweimal hinschreiben
Schreiben Sie 2 + 5 + 8 + … + 29 ein zweites Mal darunter, diesmal rückwärts. Untereinander stehen dann 2 und 29, 5 und 26, 8 und 23 — jedes Paar ergibt 31, also stets a₁ + aₙ, weil jeder Schritt nach oben in der einen Zeile durch einen gleich großen Schritt nach unten in der anderen ausgeglichen wird.
Solche Paare gibt es n Stück, zusammen n · (a₁ + aₙ). Das ist die doppelte Summe, denn die Reihe steht zweimal da; die Hälfte davon ist die gesuchte: zehn Paare zu 31 sind 310, halbiert 155. Nach derselben Überlegung soll der junge Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 zusammengezählt haben — 100 · 101 / 2 = 5 050, während die Klasse noch addierte.
Wo gleich große Schritte tatsächlich vorkommen
Wer im Januar 50 € zurücklegt und den Betrag Monat für Monat um 25 € erhöht, zahlt im Dezember 50 + 11 · 25 = 325 € ein. Übers Jahr sind es 12 · (50 + 325) / 2 = 2 250 € — ohne Zinsen, denn Zinsen wachsen mit dem angesparten Betrag mit, und dann sind die Schritte nicht mehr gleich groß.
Nach demselben Muster ist ein Saal gebaut, dessen Reihen nach hinten breiter werden: 18 Plätze in der ersten Reihe, zwei mehr in jeder folgenden, insgesamt 15 Reihen. Die letzte Reihe hat 18 + 14 · 2 = 46 Plätze, der Saal fasst 15 · (18 + 46) / 2 = 480 Personen.
Fällt die Folge, ist d negativ
Die Differenz darf kleiner als null sein, an den Formeln ändert das nichts. Mit a₁ = 100 und d = −7,5 lautet das achte Glied 100 + 7 · (−7,5) = 47,5, und die ersten acht Glieder ergeben zusammen 8 · (100 + 47,5) / 2 = 590.
Verwechseln lässt sich das leicht mit einer geometrischen Folge, bei der von Glied zu Glied nicht addiert, sondern multipliziert wird. Prüfen Sie im Zweifel zwei benachbarte Glieder: Ist die Differenz überall gleich, ist die Folge arithmetisch; ist stattdessen der Quotient überall gleich, ist sie geometrisch und diese Formeln gelten nicht.