Rechner für arithmetische Folgen und Reihen

VonOleh Soloninaktualisiert 25. September 2026

Ergebnis

Das 10. Glied ist 29, die Summe der ersten 10 Glieder beträgt 155.

n-tes Glied

Summe der ersten n Glieder

155

Rechenweg

aₙ = 2 + (10 − 1) · 3 = 29; Sₙ = 10 · (2 + 29) / 2 = 155

Das Ergebnis ist ein Richtwert und ersetzt keine Beratung.

n-tes Glied und Summe einer arithmetischen Folge aus erstem Glied, Differenz und Gliednummer.

Eine arithmetische Folge wächst in gleich großen Schritten: Zu jedem Glied kommt dieselbe Differenz d hinzu. Beginnt sie bei 2 und steigt um 3, lauten die Glieder 2, 5, 8, 11 — und das zehnte ist 2 + 9 · 3 = 29.

Für die Summe müssen die Glieder nicht einzeln addiert werden. Die ersten zehn ergeben zusammen 10 · (2 + 29) / 2 = 155, und dafür genügen das erste Glied, das letzte und ihre Anzahl.

So benutzen Sie den Rechner

Tragen Sie a₁ ein — den Wert, mit dem die Folge beginnt.
Bestimmen Sie d, indem Sie von einem Glied das vorhergehende abziehen: Bei 2, 5, 8, 11 ist d = 3. Fällt die Folge, ist d negativ.
Geben Sie n ein, die Nummer des gesuchten Gliedes. Sie erhalten dieses Glied und zugleich die Summe aller Glieder von 1 bis n.

Die Folge 2, 5, 8, 11 … in Zahlen

Das n-te Glied wächst gleichmäßig, die Summe dagegen nicht: Sie nimmt ungefähr quadratisch zu. Zwischen n = 50 und n = 100 verdoppelt sich das Glied von 149 auf 299, die Summe vervierfacht sich fast, von 3.775 auf 15.050.

Dasselbe funktioniert mit negativem d. Beginnt eine Folge bei 100 und fällt um 7 je Schritt, ist das 15. Glied gerade noch 2, und die Summe der ersten fünfzehn beträgt 765. Ein Sparplan, der mit 50 € startet und monatlich um 12,50 € steigt, ist ebenfalls arithmetisch: im zwölften Monat 187,50 €, im ersten Jahr zusammen 1.425 €.

Gerechnet mit a₁ = 2 und d = 3 nach aₙ = a₁ + (n − 1)·d und Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2. Für n = 100 sind das 100 · (2 + 299) / 2 = 15.050.
n	n-tes Glied	Summe der ersten n Glieder
1	2	2
5	14	40
10	29	155
20	59	610
50	149	3.775
100	299	15.050

Der Kniff von Gauß: die Reihe zweimal hinschreiben

Schreiben Sie 2 + 5 + 8 + … + 29 ein zweites Mal darunter, diesmal rückwärts. Untereinander stehen dann 2 und 29, 5 und 26, 8 und 23 — jedes Paar ergibt 31, also stets a₁ + aₙ, weil jeder Schritt nach oben in der einen Zeile durch einen gleich großen Schritt nach unten in der anderen ausgeglichen wird.

Solche Paare gibt es n Stück, zusammen n · (a₁ + aₙ). Das ist die doppelte Summe, denn die Reihe steht zweimal da; die Hälfte davon ist die gesuchte: zehn Paare zu 31 sind 310, halbiert 155. Nach derselben Überlegung soll der junge Carl Friedrich Gauß die Zahlen von 1 bis 100 zusammengezählt haben — 100 · 101 / 2 = 5 050, während die Klasse noch addierte.

Wo gleich große Schritte tatsächlich vorkommen

Wer im Januar 50 € zurücklegt und den Betrag Monat für Monat um 25 € erhöht, zahlt im Dezember 50 + 11 · 25 = 325 € ein. Übers Jahr sind es 12 · (50 + 325) / 2 = 2 250 € — ohne Zinsen, denn Zinsen wachsen mit dem angesparten Betrag mit, und dann sind die Schritte nicht mehr gleich groß.

Nach demselben Muster ist ein Saal gebaut, dessen Reihen nach hinten breiter werden: 18 Plätze in der ersten Reihe, zwei mehr in jeder folgenden, insgesamt 15 Reihen. Die letzte Reihe hat 18 + 14 · 2 = 46 Plätze, der Saal fasst 15 · (18 + 46) / 2 = 480 Personen.

Fällt die Folge, ist d negativ

Die Differenz darf kleiner als null sein, an den Formeln ändert das nichts. Mit a₁ = 100 und d = −7,5 lautet das achte Glied 100 + 7 · (−7,5) = 47,5, und die ersten acht Glieder ergeben zusammen 8 · (100 + 47,5) / 2 = 590.

Verwechseln lässt sich das leicht mit einer geometrischen Folge, bei der von Glied zu Glied nicht addiert, sondern multipliziert wird. Prüfen Sie im Zweifel zwei benachbarte Glieder: Ist die Differenz überall gleich, ist die Folge arithmetisch; ist stattdessen der Quotient überall gleich, ist sie geometrisch und diese Formeln gelten nicht.

Quellen

Serlo — freie Lernplattform für Mathematik

Stand der Werte: 2026. Die Ergebnisse sind Orientierungswerte und ersetzen keine fachliche Beratung.

Häufige Fragen

Muss n eine ganze Zahl sein?

Ja. n zählt die Glieder ab, ein Glied Nummer 2,5 gibt es nicht. Tragen Sie deshalb eine ganze Zahl ab 1 ein; für n = 1 sind Glied und Summe beide gleich a₁.

Wie finde ich d, wenn nur zwei Glieder bekannt sind?

Ziehen Sie die beiden Glieder voneinander ab und teilen Sie durch den Abstand ihrer Nummern. Sind das dritte Glied 8 und das neunte 26, ist d = (26 − 8) / (9 − 3) = 3, und das erste Glied ergibt sich als 8 − 2 · 3 = 2.

Was ist der Unterschied zwischen Folge und Reihe?

Die Folge ist die Aufzählung der Glieder, die Reihe ihre Summe. Der Rechner gibt beides aus: aₙ als einzelnes Glied der Folge und S als Wert der zugehörigen Reihe bis zu diesem Glied.

Woran erkenne ich, dass eine Folge arithmetisch ist?

Die Differenz zweier benachbarter Glieder ist überall dieselbe. Bei 3, 7, 11, 15 ist sie stets 4, die Folge ist also arithmetisch. Bei 3, 6, 12, 24 wird dagegen multipliziert statt addiert — das ist eine geometrische Folge und braucht andere Formeln.

Wie finde ich n, wenn ich das Glied kenne?

Über n = (aₙ − a₁) / d + 1. Bei a₁ = 2, d = 3 und dem Glied 29 ergibt das (29 − 2) / 3 + 1 = 10; es ist also das zehnte Glied. Zur Folge gehört der Wert nur, wenn dabei eine positive ganze Zahl herauskommt. Bei d = 0 taugt die Formel nicht: Dann sind alle Glieder gleich a₁.

Darf d eine Kommazahl sein?

Ja, und das ist der häufigste Fall außerhalb des Unterrichts. Ein Sparbetrag von 50 €, der jeden Monat um 12,50 € steigt, erreicht im zwölften Monat 187,50 €; zusammen sind im ersten Jahr 1.425 € eingezahlt. Dezimalstellen werden mit Komma eingetragen.

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