Ein Trapez hat zwei parallele Seiten, die meist unterschiedlich lang sind, und seine Fläche liegt genau zwischen der eines schmalen und der eines breiten Rechtecks. Bei den Grundseiten 8 und 5 und der Höhe 4 ist die Mittellinie 6,5, und die Fläche beträgt 6,5 · 4 = 26.
Die Mittellinie ist dabei der ganze Trick: Sie ist der Durchschnitt der beiden Grundseiten, (8 + 5) : 2, und macht aus dem Trapez ein flächengleiches Rechteck derselben Höhe. Wer sie ausrechnet, braucht keine zweite Formel mehr.
Die Höhe ist der Abstand, nicht der Schenkel
Die Höhe h steht senkrecht auf beiden Grundseiten. Der schräge Schenkel ist immer länger und gehört nicht in die Formel. Genau hier geht es am häufigsten schief, in Klassenarbeiten wie auf der Baustelle, weil sich der Schenkel mit dem Zollstock bequem abgreifen lässt und der senkrechte Abstand nicht.
Ein gleichschenkliges Trapez mit den Grundseiten 10 und 6 und der Höhe 4 hat an jeder Seite einen Überstand von 2, sein Schenkel misst also √(4² + 2²) = 4,47. Wer damit rechnet, erhält 8 · 4,47 = 35,8 statt der richtigen 32 — knapp zwölf Prozent zu viel.
Sonderfall Rechteck, Grenzfall Dreieck
Sind beide Grundseiten gleich lang, ist die Mittellinie genauso lang wie sie, und die Formel schrumpft zu a · h, der des Rechtecks und des Parallelogramms. Läuft die obere Seite dagegen auf null zu, bleibt (a + 0) : 2 · h übrig, also die halbe Grundseite mal Höhe — die Formel des Dreiecks. Beide Fälle stecken in derselben Rechnung.
Die Mittellinie ist außerdem keine reine Rechengröße, sondern eine Strecke, die man nachmessen kann: Sie verbindet die Mittelpunkte der beiden Schenkel und ist tatsächlich so lang wie der Durchschnitt der Grundseiten. Auf einem Grundstück heißt das, auf halber Tiefe quer zu messen und den Wert gegen die Rechnung zu halten.
Vom Querschnitt zum Volumen
Im Bau tritt das Trapez meist als Querschnitt auf, weil Böschungen nicht senkrecht stehen bleiben. Ein Graben mit 0,60 m Sohlbreite, 1,80 m oberer Breite und 0,80 m Tiefe hat die Mittellinie 1,20 m und damit einen Querschnitt von 1,20 · 0,80 = 0,96 m².
Mit der Länge multipliziert wird daraus der Aushub: 25 Meter Graben ergeben 25 · 0,96 = 24 Kubikmeter gewachsenen Boden. Lose aufgeschüttet nimmt derselbe Boden deutlich mehr Platz ein, weshalb der Container nach dem aufgelockerten Volumen bestellt wird und nicht nach dieser Zahl.