Primfaktorrechner

VonOleh Soloninaktualisiert 25. September 2026

Ergebnis

360 = 2^3 · 3^2 · 5, insgesamt 24 Teiler.

Primfaktorzerlegung

2^3 · 3^2 · 5

Anzahl der Teiler

Rechenweg

360 = 2^3 · 3^2 · 5; Teilerzahl aus den Exponenten: 24

Das Ergebnis ist ein Richtwert und ersetzt keine Beratung.

Zahl in ihre Primfaktoren zerlegen, mit Exponenten und der Anzahl aller Teiler.

Jede ganze Zahl größer als 1 lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben, und das auf genau eine Weise. 360 zerfällt in 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5, kurz 2³ · 3² · 5 — kein anderes Produkt aus Primzahlen ergibt diese Zahl.

Der Rechner probiert der Reihe nach 2, 3, 5, 7 und so fort und spaltet jeden Faktor ab, solange die Division aufgeht. Bleibt am Ende eine Zahl größer als 1 übrig, ist auch sie prim: 91 geht durch 7 auf, die übrige 13 ist der zweite Faktor. Die Anzahl aller Teiler fällt dabei mit ab — bei 360 sind es 24.

So benutzen Sie den Rechner

Tragen Sie die Zahl ein, die zerlegt werden soll.
Lesen Sie die Zerlegung mit Exponenten und die Anzahl der Teiler ab.
Bei einer Primzahl besteht die Zerlegung aus der Zahl selbst.

Eine Zahl, eine Zerlegung

Jede ganze Zahl über eins zerfällt auf genau eine Weise in Primfaktoren, von der Reihenfolge abgesehen — das ist der Fundamentalsatz der Arithmetik. 360 wird zu 2³ · 3² · 5.

Die Exponenten leisten mehr, als es zunächst scheint. Um eins erhöht und multipliziert ergeben sie die Anzahl der Teiler: 4 · 3 · 2 = 24. Dieselben Exponenten liefern den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen, wenn man die kleineren nimmt, und das kleinste gemeinsame Vielfache, wenn man die größeren nimmt.

Mit diesem Rechner gerechnet; die Teilerzahl folgt aus den Exponenten.
Zahl	Zerlegung	Anzahl Teiler
360	2³ · 3² · 5	24
97	97	2
1024	2¹⁰	11
100	2² · 5²	9

Warum die Zerlegung eindeutig ist

Der Fundamentalsatz der Arithmetik besagt genau das: Jede natürliche Zahl größer als 1 ist entweder selbst prim oder ein Produkt von Primzahlen, und dieses Produkt liegt bis auf die Reihenfolge fest. 2³ · 3² · 5 und 5 · 3 · 2 · 3 · 2 · 2 sind dieselbe Zerlegung, nur anders aufgeschrieben.

Genau deshalb zählt die 1 nicht zu den Primzahlen. Wäre sie eine, ließe sich 360 auch als 1 · 2³ · 3² · 5 schreiben, mit beliebig vielen Einsen davor, und von Eindeutigkeit könnte keine Rede mehr sein.

Kürzen, ggT und kgV aus den Faktoren

Wer 84/360 kürzen will, zerlegt beide Zahlen: 84 = 2² · 3 · 7 und 360 = 2³ · 3² · 5. Gemeinsam sind 2² und 3, ihr Produkt 12 ist der größte gemeinsame Teiler. Gekürzt bleibt 7/30, und weiter geht es nicht, weil 7 und 30 keinen gemeinsamen Primfaktor mehr haben.

Das kleinste gemeinsame Vielfache entsteht umgekehrt aus dem jeweils höheren Exponenten, hier 2³ · 3² · 5 · 7 = 2520. Im Alltag steckt dahinter der Takt: Fährt eine Linie alle 12 Minuten und die andere alle 18, treffen beide alle 36 Minuten zusammen, denn aus 12 = 2² · 3 und 18 = 2 · 3² folgt das kgV 2² · 3² = 36.

Die Anzahl der Teiler ohne Abzählen

Aus der Zerlegung folgt unmittelbar, wie viele Teiler eine Zahl hat: jeden Exponenten um 1 erhöhen und die Ergebnisse multiplizieren. Bei 360 = 2³ · 3² · 5¹ sind das 4 · 3 · 2 = 24 Teiler, von der 1 bis zur 360 selbst.

Der Blick auf die Nachbarn zeigt, wie stark das schwankt: 359 ist prim und hat nur zwei Teiler, 361 = 19² hat drei. Dass die Kreisteilung bei 360 so bequem aufgeht, liegt an dieser Fülle: Hälfte 180, Drittel 120, Viertel 90, Fünftel 72, Sechstel 60 und Achtel 45 gehen alle glatt auf — bei 359 ginge keine einzige davon.

Quellen

Serlo — freie Lernplattform für Mathematik

Stand der Werte: 2026. Die Ergebnisse sind Orientierungswerte und ersetzen keine fachliche Beratung.

Häufige Fragen

Wie weit muss ich die Probedivision treiben?

Höchstens bis zur Quadratwurzel der Zahl, die gerade übrig ist. Findet sich bis dahin kein Teiler, ist diese Zahl selbst prim. Bei 97 genügen 2, 3, 5 und 7, denn 11 · 11 ergibt bereits 121 und damit mehr als 97 — 97 ist prim.

Warum steht bei manchen Zahlen nur ein einziger Faktor im Ergebnis?

Weil eine Primzahl außer 1 und sich selbst keinen Teiler besitzt; ihre Zerlegung besteht dann aus ihr allein. Bei 2026 hingegen fällt zuerst die 2 heraus, und die übrige 1013 lässt sich nicht weiter zerlegen: 2026 = 2 · 1013.

Warum wird die Zerlegung bei großen Zahlen so mühsam?

Weil die Zahl der Kandidaten mit der Größe explodiert. Die Probedivision reicht bis zur Quadratwurzel — bei einer 40-stelligen Zahl sind das rund 10²⁰ Schritte. Bessere Verfahren wie das Zahlkörpersieb kommen mit weit weniger aus; eine 40-stellige Zahl ist damit in Sekundenbruchteilen zerlegt. Deshalb rechnet RSA nicht mit 40, sondern mit über 600 Stellen, und die Faktoren werden eigens so gewählt, dass die Zahl keine leichte Struktur hat; mit dem besten bekannten Verfahren gilt sie dann nach heutigem Stand als praktisch nicht zerlegbar.

Wie zerlege ich 360 in Primfaktoren?

2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5, kurz 2³ · 3² · 5. Man teilt fortlaufend durch die kleinste passende Primzahl, bis eins übrig bleibt.

Wie viele Teiler hat eine Zahl?

Die Exponenten um eins erhöhen und multiplizieren. Bei 360 sind das 4 · 3 · 2 = 24 Teiler.

Wozu braucht man die Zerlegung?

Für das Kürzen von Brüchen, den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache — alle drei lassen sich direkt aus den Primfaktoren ablesen.

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