Jede ganze Zahl größer als 1 lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben, und das auf genau eine Weise. 360 zerfällt in 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5, kurz 2³ · 3² · 5 — kein anderes Produkt aus Primzahlen ergibt diese Zahl.
Der Rechner probiert der Reihe nach 2, 3, 5, 7 und so fort und spaltet jeden Faktor ab, solange die Division aufgeht. Bleibt am Ende eine Zahl größer als 1 übrig, ist auch sie prim: 91 geht durch 7 auf, die übrige 13 ist der zweite Faktor. Die Anzahl aller Teiler fällt dabei mit ab — bei 360 sind es 24.
Warum die Zerlegung eindeutig ist
Der Fundamentalsatz der Arithmetik besagt genau das: Jede natürliche Zahl größer als 1 ist entweder selbst prim oder ein Produkt von Primzahlen, und dieses Produkt liegt bis auf die Reihenfolge fest. 2³ · 3² · 5 und 5 · 3 · 2 · 3 · 2 · 2 sind dieselbe Zerlegung, nur anders aufgeschrieben.
Genau deshalb zählt die 1 nicht zu den Primzahlen. Wäre sie eine, ließe sich 360 auch als 1 · 2³ · 3² · 5 schreiben, mit beliebig vielen Einsen davor, und von Eindeutigkeit könnte keine Rede mehr sein.
Kürzen, ggT und kgV aus den Faktoren
Wer 84/360 kürzen will, zerlegt beide Zahlen: 84 = 2² · 3 · 7 und 360 = 2³ · 3² · 5. Gemeinsam sind 2² und 3, ihr Produkt 12 ist der größte gemeinsame Teiler. Gekürzt bleibt 7/30, und weiter geht es nicht, weil 7 und 30 keinen gemeinsamen Primfaktor mehr haben.
Das kleinste gemeinsame Vielfache entsteht umgekehrt aus dem jeweils höheren Exponenten, hier 2³ · 3² · 5 · 7 = 2520. Im Alltag steckt dahinter der Takt: Fährt eine Linie alle 12 Minuten und die andere alle 18, treffen beide alle 36 Minuten zusammen, denn aus 12 = 2² · 3 und 18 = 2 · 3² folgt das kgV 2² · 3² = 36.
Die Anzahl der Teiler ohne Abzählen
Aus der Zerlegung folgt unmittelbar, wie viele Teiler eine Zahl hat: jeden Exponenten um 1 erhöhen und die Ergebnisse multiplizieren. Bei 360 = 2³ · 3² · 5¹ sind das 4 · 3 · 2 = 24 Teiler, von der 1 bis zur 360 selbst.
Der Blick auf die Nachbarn zeigt, wie stark das schwankt: 359 ist prim und hat nur zwei Teiler, 361 = 19² hat drei. Dass die Kreisteilung bei 360 so bequem aufgeht, liegt an dieser Fülle: Hälfte 180, Drittel 120, Viertel 90, Fünftel 72, Sechstel 60 und Achtel 45 gehen alle glatt auf — bei 359 ginge keine einzige davon.