Kegel-Rechner

VonOleh Soloninaktualisiert 25. September 2026

Ergebnis

Volumen 314,16 — ein Drittel des Zylinders mit gleichem Boden und gleicher Höhe. Die Mantellinie misst 13.

Volumen

314,16

Mantellinie

Oberfläche mit Grundfläche

282,74

Rechenweg

Volumen: π × 5² × 12 ÷ 3 = 314,16; Mantellinie: √(5² + 12²) = 13

Das Ergebnis ist ein Richtwert und ersetzt keine Beratung.

Volumen, Mantellinie und Oberfläche eines Kegels aus Radius und Höhe — mit dem Vergleich zum Zylinder.

Ein Kegel mit 5 Zentimetern Radius und 12 Zentimetern Höhe fasst 314,16 Kubikzentimeter: π mal 25 mal 12, geteilt durch drei. Seine Mantellinie misst glatte 13 Zentimeter, die Oberfläche 282,74 Quadratzentimeter.

Das Drittel in der Formel ist keine Näherung. Ein Zylinder über demselben Grundkreis und mit derselben Höhe fasst 942,48 Kubikzentimeter, also exakt das Dreifache. Drei randvolle Kegel füllen ihn — mit Sand oder Wasser lässt sich das in wenigen Minuten nachstellen.

So benutzen Sie den Rechner

Tragen Sie den Radius der Grundfläche ein.
Tragen Sie die Höhe ein — senkrecht von der Grundfläche zur Spitze.
Lesen Sie Volumen, Mantellinie und Oberfläche ab.

Ein Drittel des Zylinders

Ein Kegel fasst genau ein Drittel des Zylinders mit gleichem Boden und gleicher Höhe. Bei Radius 5 und Höhe 12 sind das 314,16 Volumeneinheiten gegenüber 942,48 beim Zylinder.

Die Mantellinie ist nicht die Höhe, sondern die Strecke von der Spitze zum Rand: sie folgt aus dem Satz des Pythagoras. Radius 5 und Höhe 12 ergeben die Mantellinie 13 — wieder eines der ganzzahligen Tripel.

Mit diesem Rechner gerechnet; in allen drei Zeilen ist die Mantellinie ganzzahlig.
Radius	Höhe	Mantellinie	Volumen
5	12	13	314,16
3	4	5	37,70
6	8	10	301,59

Die Mantellinie kommt aus dem Satz des Pythagoras

Die Mantellinie ist die schräge Kante von der Spitze zum Rand des Grundkreises. Radius und Höhe bilden im Inneren ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse genau diese Kante ist: s = √(r² + h²). Aus 5 und 12 wird so √169 und damit 13 — länger als die Höhe, und das bei jedem Kegel.

Wer den Mantel aus Papier oder Blech zuschneidet, braucht diese Länge und nicht die Höhe. Abgewickelt ist der Mantel ein Kreisausschnitt mit dem Radius 13 Zentimeter und einem Öffnungswinkel von 138,5 Grad, also 360 Grad mal r geteilt durch s. Mit 12 statt 13 angerissen entsteht zwar auch ein Kegel, aber ein flacherer: Damit der Grundkreis derselbe bleibt, muss der Öffnungswinkel auf 150 Grad wachsen (360 · 5/12); die Höhe fällt dann auf √(12² − 5²) = 10,91 Zentimeter.

Immer genau ein Drittel des Zylinders

Läuft ein Körper mit geraden Kanten von der Grundfläche zu einer Spitze zusammen, fasst er ein Drittel des Prismas oder Zylinders über derselben Grundfläche und mit derselben Höhe — die Pyramide ebenso wie der Kegel. Für gekrümmte Formen gilt die Regel nicht: Ein Rotationsparaboloid läuft auch in einem Punkt zusammen, füllt seinen Zylinder aber genau zur Hälfte. Ob die Spitze mittig sitzt oder schief, spielt dagegen keine Rolle: Fürs Volumen zählt allein die senkrechte Höhe.

Deshalb liefert eine Waffeltüte weniger, als sie verspricht. Bei 2,5 Zentimetern Radius und 12 Zentimetern Höhe passen 78,5 Milliliter hinein; ein Becher derselben Maße nähme 235,6 auf. Eine Eiskugel von 4 Zentimetern Durchmesser bringt 33,5 Milliliter obendrauf.

Der Sandhaufen als Kegel

Loses Material formt sich beim Abkippen von allein zu einem Kegel. Wie steil er wird, hängt vom Stoff, von der Körnung und der Feuchte ab; für das Rechenbeispiel nehmen wir einen Schüttwinkel von 34 Grad an. Den tatsächlichen Winkel muss man für das konkrete Material bestimmen. Aus dem Winkel folgt die Höhe als h = r · tan(α). Einen einheitlichen Normwert für Sand und Kies gibt es nicht; genormt ist das Messverfahren nur für einzelne Stoffgruppen, etwa in DIN ISO 4324 für Tenside in Pulver- und Granulatform.

Ein Haufen mit 2 Metern Radius wird damit rund 1,35 Meter hoch und enthält 5,65 Kubikmeter. Wer nach Kubikmetern kauft, prüft die Lieferung so nach, ohne sie anzurühren: den Umfang abschreiten, daraus den Radius bestimmen, die Höhe mit dem Zollstock nehmen. Gemessen wird dabei das lockere Schüttvolumen, nicht das verdichtete.

Quellen

Serlo — freie Lernplattform für Mathematik

Stand der Werte: 2026. Die Ergebnisse sind Orientierungswerte und ersetzen keine fachliche Beratung.

Häufige Fragen

Warum ist die Oberfläche nicht π · r · s?

Weil das nur der Mantel ist. Beim Kegel mit r = 5 und s = 13 sind das 204,20 Quadratzentimeter; die Grundfläche π · r² kommt mit 78,54 dazu, zusammen 282,74. Wer eine Tüte rollt oder eine oben wie unten offene Form baut, braucht nur den Mantel — wer lackiert oder eine geschlossene Haube fertigt, die Summe.

Was passiert, wenn ich den Radius verdopple?

Das Volumen vervierfacht sich, denn der Radius geht quadratisch ein. Aus 314,16 werden bei r = 10 und unveränderten 12 Zentimetern Höhe 1.256,64 Kubikzentimeter. Die Höhe wirkt dagegen linear: doppelte Höhe, doppeltes Volumen.

Gilt das auch für einen schiefen Kegel?

Fürs Volumen ja — nach dem Prinzip von Cavalieri zählt nur die senkrechte Höhe, nicht wo die Spitze steht. Die Oberfläche stimmt dann nicht mehr, weil die Mantellinie rundherum unterschiedlich lang ist. Dieser Rechner setzt einen geraden Kegel voraus.

Wie groß ist das Volumen eines Kegels mit Radius 5 und Höhe 12?

314,16 Volumeneinheiten — ein Drittel des Zylinders mit demselben Boden und derselben Höhe.

Was ist die Mantellinie?

Die Strecke von der Spitze zum Rand der Grundfläche. Sie ergibt sich aus Radius und Höhe nach Pythagoras: bei 5 und 12 sind es 13.

Woher kommt das Drittel in der Formel?

Aus der Integration der Querschnittsfläche über die Höhe. Nachprüfen lässt es sich mit drei Kegelfüllungen, die genau einen Zylinder gleicher Maße füllen.

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