Ein Kegel mit 5 Zentimetern Radius und 12 Zentimetern Höhe fasst 314,16 Kubikzentimeter: π mal 25 mal 12, geteilt durch drei. Seine Mantellinie misst glatte 13 Zentimeter, die Oberfläche 282,74 Quadratzentimeter.
Das Drittel in der Formel ist keine Näherung. Ein Zylinder über demselben Grundkreis und mit derselben Höhe fasst 942,48 Kubikzentimeter, also exakt das Dreifache. Drei randvolle Kegel füllen ihn — mit Sand oder Wasser lässt sich das in wenigen Minuten nachstellen.
Die Mantellinie kommt aus dem Satz des Pythagoras
Die Mantellinie ist die schräge Kante von der Spitze zum Rand des Grundkreises. Radius und Höhe bilden im Inneren ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse genau diese Kante ist: s = √(r² + h²). Aus 5 und 12 wird so √169 und damit 13 — länger als die Höhe, und das bei jedem Kegel.
Wer den Mantel aus Papier oder Blech zuschneidet, braucht diese Länge und nicht die Höhe. Abgewickelt ist der Mantel ein Kreisausschnitt mit dem Radius 13 Zentimeter und einem Öffnungswinkel von 138,5 Grad, also 360 Grad mal r geteilt durch s. Mit 12 statt 13 angerissen entsteht zwar auch ein Kegel, aber ein flacherer: Damit der Grundkreis derselbe bleibt, muss der Öffnungswinkel auf 150 Grad wachsen (360 · 5/12); die Höhe fällt dann auf √(12² − 5²) = 10,91 Zentimeter.
Immer genau ein Drittel des Zylinders
Läuft ein Körper mit geraden Kanten von der Grundfläche zu einer Spitze zusammen, fasst er ein Drittel des Prismas oder Zylinders über derselben Grundfläche und mit derselben Höhe — die Pyramide ebenso wie der Kegel. Für gekrümmte Formen gilt die Regel nicht: Ein Rotationsparaboloid läuft auch in einem Punkt zusammen, füllt seinen Zylinder aber genau zur Hälfte. Ob die Spitze mittig sitzt oder schief, spielt dagegen keine Rolle: Fürs Volumen zählt allein die senkrechte Höhe.
Deshalb liefert eine Waffeltüte weniger, als sie verspricht. Bei 2,5 Zentimetern Radius und 12 Zentimetern Höhe passen 78,5 Milliliter hinein; ein Becher derselben Maße nähme 235,6 auf. Eine Eiskugel von 4 Zentimetern Durchmesser bringt 33,5 Milliliter obendrauf.
Der Sandhaufen als Kegel
Loses Material formt sich beim Abkippen von allein zu einem Kegel. Wie steil er wird, hängt vom Stoff ab: Trockener Sand kommt auf etwa 34 Grad Schüttwinkel, grober Kies auf etwas mehr. Aus dem Winkel folgt die Höhe als h = r · tan(α). Einen einheitlichen Normwert für Sand und Kies gibt es nicht; genormt ist das Messverfahren nur für einzelne Stoffgruppen, etwa in DIN ISO 4324 für Tenside in Pulver- und Granulatform.
Ein Haufen mit 2 Metern Radius wird damit rund 1,35 Meter hoch und enthält 5,65 Kubikmeter. Wer nach Kubikmetern kauft, prüft die Lieferung so nach, ohne sie anzurühren: den Umfang abschreiten, daraus den Radius bestimmen, die Höhe mit dem Zollstock nehmen. Gemessen wird dabei das lockere Schüttvolumen, nicht das verdichtete.