Rechner für lineare Gleichungen

VonOleh Soloninaktualisiert 25. September 2026

Ergebnis

x = 5. Die Probe: 3 · 5 + 5 = 20.

Lösung x

Probe durch Einsetzen

3 · 5 + 5 = 20

Rechenweg

x = (c − b) / a = (20 − 5) / 3 = 5

Das Ergebnis ist ein Richtwert und ersetzt keine Beratung.

Löst a·x + b = c nach x auf — mit Probe durch Einsetzen und den beiden Sonderfällen bei a = 0.

Eine lineare Gleichung der Form a·x + b = c ist in zwei Schritten gelöst: erst b auf die andere Seite bringen, dann durch a teilen. Aus 3x + 5 = 20 wird so 3x = 15 und daraus x = 5 — eingesetzt ergibt 3 · 5 + 5 tatsächlich 20.

Zusammengefasst lautet der Weg x = (c − b) / a. Er funktioniert für jede Zahl außer für a = 0, denn durch null lässt sich nicht teilen. Genau dort entscheidet sich, ob die Gleichung von jeder Zahl erfüllt wird oder von keiner einzigen.

So benutzen Sie den Rechner

Sortieren Sie die Gleichung so, dass x nur noch auf einer Seite steht. Bei 5x − 7 = 2x + 11 ziehen Sie beidseitig 2x ab und erhalten 3x − 7 = 11.
Tragen Sie a — die Zahl vor dem x —, b mit seinem Vorzeichen und c, die rechte Seite, ein. Aus 3x − 7 = 11 werden so a = 3, b = −7 und c = 11.
Lesen Sie x ab und vergleichen Sie die Probe: Beide Seiten der Gleichung müssen denselben Wert ergeben.

Sechs Aufgaben in derselben Form

Die Form a·x + b = c sieht schulisch aus, steckt aber in vielen Abrechnungen: überall dort, wo ein fester Betrag und ein Betrag je Einheit zusammen eine bekannte Summe ergeben. Gesucht ist dann die Zahl der Einheiten.

Die letzten drei Zeilen zeigen die Fälle, in denen beim Eintragen am häufigsten etwas schiefgeht: ein Minus in der Gleichung, ein negatives a und eine Gleichung ganz ohne b.

Die Spalten „Lösung“ und „Probe“ stammen aus dem Rechner dieser Seite. In der dritten Zeile gehört die Einheit zur Antwort dazu: Die Formel liefert 2.500, dass es Kilowattstunden sind, weiß nur die Aufgabe.
Aufgabe	Gleichung	Lösung x	Probe
Grundform aus dem Unterricht	3x + 5 = 20	5	3 · 5 + 5 = 20
Handwerker: 45 € Anfahrt, 68 € je Stunde, 249 € Rechnung	68x + 45 = 249	3 Stunden	68 · 3 + 45 = 249
Strom: 142,80 € Grundpreis, 0,35 € je kWh, 1.017,80 € im Jahr	0,35x + 142,80 = 1.017,80	2.500 kWh	0,35 · 2.500 + 142,80 = 1.017,80
Minus in der Gleichung: b wird negativ eingetragen	4x − 6 = 10	4	4 · 4 − 6 = 10
Negatives a	−2x + 7 = 1	3	−2 · 3 + 7 = 1
Ohne b, Ergebnis mit Komma	5x = 12	2,4	5 · 2,4 = 12

Wenn a null ist: alle Zahlen oder keine

Mit a = 0 verschwindet das x aus der Gleichung, und übrig bleibt der bloße Vergleich b = c. Stimmt er — etwa bei 0·x + 5 = 5 —, dann macht jede eingesetzte Zahl die Aussage wahr. Die Lösungsmenge ist ganz ℝ, und solche Gleichungen heißen allgemeingültig.

Stimmt er nicht, etwa bei 0·x + 5 = 20, bleibt 5 = 20 stehen, und daran ändert kein x etwas. Die Lösungsmenge ist leer: L = { }. Beides sind Ergebnisse und keine Fehlermeldung — in Klausuren wird häufig genau diese Unterscheidung abgefragt und nicht die Rechnung selbst.

Die Probe: den Wert zurück in die Gleichung setzen

Zur Probe wird das gefundene x wieder eingesetzt und jede Seite getrennt ausgerechnet. Eine Handwerkerrechnung mit 45 € Anfahrtspauschale und 68 € Stundensatz über 249 € führt auf 68x + 45 = 249, also x = 204 / 68 = 3. Eingesetzt: 68 · 3 + 45 = 249 — die drei Stunden stimmen.

Bei nicht aufgehenden Brüchen darf die Probe knapp danebenliegen. 3x + 1 = 2 hat die Lösung x = 1/3; mit 0,3333 gerechnet ergibt die linke Seite 1,9999 statt 2. Diese Abweichung stammt vom Runden, nicht vom Rechenweg. Wer sichergehen will, setzt den Bruch ein statt der Dezimalzahl.

Jede lineare Gleichung lässt sich auf diese Form bringen

Steht x auf beiden Seiten, wird zuerst sortiert. Bei 5x − 7 = 2x + 11 zieht man links und rechts 2x ab und erhält 3x − 7 = 11. Damit ist a = 3, b = −7 und c = 11, die Lösung also x = (11 + 7) / 3 = 6. Zur Kontrolle: links 5 · 6 − 7 = 23, rechts 2 · 6 + 11 = 23.

Auch Sachaufgaben landen bei dieser Form. Eine Stromabrechnung mit 142,80 € Grundpreis im Jahr und 0,35 € je Kilowattstunde über 1.017,80 € lautet als Gleichung 0,35x + 142,80 = 1017,80; der Verbrauch war x = 875 / 0,35 = 2500 kWh. Die Einheit gehört zur Antwort dazu — die Formel selbst kennt sie nicht.

Quellen

Serlo — freie Lernplattform für Mathematik

Stand der Werte: 2026. Die Ergebnisse sind Orientierungswerte und ersetzen keine fachliche Beratung.

Häufige Fragen

Was heißt es, wenn unendlich viele Lösungen herauskommen?

Dann ist a null und b gleich c, die Gleichung ist also allgemeingültig: 0·x + 7 = 7 trifft für jede Zahl zu, die man einsetzt, und die Lösungsmenge ist L = ℝ. Das ist ein gültiges Ergebnis und kein Tippfehler. Häufig steckt aber eine Umformung dahinter, bei der auf beiden Seiten versehentlich dasselbe entstanden ist — dann lohnt der Blick zurück in die ursprüngliche Aufgabe.

Muss b negativ eingetragen werden, wenn in der Gleichung ein Minus steht?

Ja. Der Rechner erwartet die Form a·x + b = c mit Pluszeichen. Aus 4x − 6 = 10 wird deshalb b = −6, und es ergibt sich x = (10 + 6) / 4 = 4. Die Probe: 4 · 4 − 6 = 10.

Wie prüfe ich das Ergebnis ohne Rechner nach?

Setzen Sie x in die ursprüngliche Gleichung ein und rechnen Sie beide Seiten getrennt aus; ergeben sie denselben Wert, stimmt die Lösung. Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg zu linearen Gleichungen stellt die Lernplattform Serlo frei zur Verfügung.

Was mache ich, wenn x auf beiden Seiten steht?

Zuerst sortieren: Ziehen Sie das kleinere x-Glied auf beiden Seiten ab. Aus 5x − 7 = 2x + 11 wird 3x − 7 = 11, also a = 3, b = −7 und c = 11 mit der Lösung x = 6. Die Probe rechnet beide Ausgangsseiten getrennt: links 5 · 6 − 7 = 23, rechts 2 · 6 + 11 = 23.

Wie trage ich eine Gleichung ohne b ein?

Mit b = 0. Bei 5x = 12 sind a = 5, b = 0 und c = 12, die Lösung ist x = 2,4. Dass nichts addiert wird, ist kein Sonderfall — die Null erledigt das.

Lassen sich Brüche als Koeffizienten eintragen?

Als Dezimalzahl mit Komma ja. Geht der Bruch nicht auf, ist es aber genauer, zuerst die ganze Gleichung mit dem Nenner zu multiplizieren: Aus einem Drittel x plus 2 gleich 5 wird so x + 6 = 15 mit der Lösung 9. Mit 0,3333 statt eines Drittels gerechnet, käme 9,0009 heraus.

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