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Rechner für lineare Gleichungen

Löst a·x + b = c nach x auf — mit Probe durch Einsetzen und den beiden Sonderfällen bei a = 0.

Vonaktualisiert

Die Zahl vor dem x. Steht dort nichts, ist a gleich 1; bei −x ist a gleich −1.

Wird zu a·x addiert. Steht in der Gleichung ein Minus, tragen Sie b negativ ein.

Der Wert, der rechts vom Gleichheitszeichen steht.

x = 5. Die Probe: 3 · 5 + 5 = 20.

Lösung x
5
Probe durch Einsetzen
3 · 5 + 5 = 20

Eine lineare Gleichung der Form a·x + b = c ist in zwei Schritten gelöst: erst b auf die andere Seite bringen, dann durch a teilen. Aus 3x + 5 = 20 wird so 3x = 15 und daraus x = 5 — eingesetzt ergibt 3 · 5 + 5 tatsächlich 20.

Zusammengefasst lautet der Weg x = (c − b) / a. Er funktioniert für jede Zahl außer für a = 0, denn durch null lässt sich nicht teilen. Genau dort entscheidet sich, ob die Gleichung von jeder Zahl erfüllt wird oder von keiner einzigen.

Wenn a null ist: alle Zahlen oder keine

Mit a = 0 verschwindet das x aus der Gleichung, und übrig bleibt der bloße Vergleich b = c. Stimmt er — etwa bei 0·x + 5 = 5 —, dann macht jede eingesetzte Zahl die Aussage wahr. Die Lösungsmenge ist ganz ℝ, und solche Gleichungen heißen allgemeingültig.

Stimmt er nicht, etwa bei 0·x + 5 = 20, bleibt 5 = 20 stehen, und daran ändert kein x etwas. Die Lösungsmenge ist leer: L = { }. Beides sind Ergebnisse und keine Fehlermeldung — in Klausuren wird häufig genau diese Unterscheidung abgefragt und nicht die Rechnung selbst.

Die Probe: den Wert zurück in die Gleichung setzen

Zur Probe wird das gefundene x wieder eingesetzt und jede Seite getrennt ausgerechnet. Eine Handwerkerrechnung mit 45 € Anfahrtspauschale und 68 € Stundensatz über 249 € führt auf 68x + 45 = 249, also x = 204 / 68 = 3. Eingesetzt: 68 · 3 + 45 = 249 — die drei Stunden stimmen.

Bei nicht aufgehenden Brüchen darf die Probe knapp danebenliegen. 3x + 1 = 2 hat die Lösung x = 1/3; mit 0,3333 gerechnet ergibt die linke Seite 1,9999 statt 2. Diese Abweichung stammt vom Runden, nicht vom Rechenweg. Wer sichergehen will, setzt den Bruch ein statt der Dezimalzahl.

Jede lineare Gleichung lässt sich auf diese Form bringen

Steht x auf beiden Seiten, wird zuerst sortiert. Bei 5x − 7 = 2x + 11 zieht man links und rechts 2x ab und erhält 3x − 7 = 11. Damit ist a = 3, b = −7 und c = 11, die Lösung also x = (11 + 7) / 3 = 6. Zur Kontrolle: links 5 · 6 − 7 = 23, rechts 2 · 6 + 11 = 23.

Auch Sachaufgaben landen bei dieser Form. Eine Stromabrechnung mit 142,80 € Grundpreis im Jahr und 0,35 € je Kilowattstunde über 1.017,80 € lautet als Gleichung 0,35x + 142,80 = 1017,80; der Verbrauch war x = 875 / 0,35 = 2500 kWh. Die Einheit gehört zur Antwort dazu — die Formel selbst kennt sie nicht.

Häufige Fragen

Was heißt es, wenn unendlich viele Lösungen herauskommen?
Dann ist a null und b gleich c, die Gleichung ist also allgemeingültig: 0·x + 7 = 7 trifft für jede Zahl zu, die man einsetzt, und die Lösungsmenge ist L = ℝ. Das ist ein gültiges Ergebnis und kein Tippfehler. Häufig steckt aber eine Umformung dahinter, bei der auf beiden Seiten versehentlich dasselbe entstanden ist — dann lohnt der Blick zurück in die ursprüngliche Aufgabe.
Muss b negativ eingetragen werden, wenn in der Gleichung ein Minus steht?
Ja. Der Rechner erwartet die Form a·x + b = c mit Pluszeichen. Aus 4x − 6 = 10 wird deshalb b = −6, und es ergibt sich x = (10 + 6) / 4 = 4. Die Probe: 4 · 4 − 6 = 10.
Wie prüfe ich das Ergebnis ohne Rechner nach?
Setzen Sie x in die ursprüngliche Gleichung ein und rechnen Sie beide Seiten getrennt aus; ergeben sie denselben Wert, stimmt die Lösung. Übungsaufgaben mit vollständigem Lösungsweg zu linearen Gleichungen stellt die Lernplattform Serlo frei zur Verfügung.

Quellen

Stand der Werte: 2026. Die Ergebnisse sind Orientierungswerte und ersetzen keine Steuerberatung.

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