Die Fakultät multipliziert alle ganzen Zahlen von 1 bis n miteinander. Für n = 10 ergibt 1 · 2 · 3 · … · 10 den Wert 3.628.800 — genau so viele Reihenfolgen gibt es, zehn Bücher nebeneinander ins Regal zu stellen.
Danach wird die Zahl schnell unhandlich: 20! liegt über zwei Trillionen, 70! ist 101 Ziffern lang. Der Rechner zeigt das Ergebnis deshalb mit allen Ziffern und nennt daneben die Stellenzahl, denn an ihr lässt sich die Größenordnung schneller ablesen als an der Ziffernfolge selbst.
Warum 0! gleich 1 ist
Ein Produkt ohne Faktoren ist 1, so wie eine Summe ohne Summanden 0 ist. Man beginnt beim neutralen Element und multipliziert nichts hinzu — das leere Produkt. 1! besteht aus dem einen Faktor 1, und lässt man auch diesen weg, bleibt der Startwert 1 stehen.
Dass das keine Willkür ist, zeigt die Kombinatorik. Die Anzahl der Möglichkeiten, aus n Dingen k auszuwählen, ist n! / (k! · (n − k)!). Für k = 0 muss dabei 1 herauskommen, denn es gibt genau eine Art, nichts auszuwählen. Das stimmt nur, wenn 0! als 1 gilt — mit jeder anderen Festlegung wäre die Formel an den Rändern falsch.
Wo die Fakultät gebraucht wird
Am unmittelbarsten bei Reihenfolgen: Acht Gäste auf acht nummerierten Stühlen ergeben 8! = 40.320 Anordnungen; an einem runden Tisch, wo Drehungen dieselbe Sitzordnung bedeuten, sind es nur 7! = 5.040. Ein Skatblatt mit 32 Karten lässt sich auf 32! Arten mischen — eine Zahl mit 36 Stellen, rund 2,6 · 10³⁵.
In der Kombinatorik steckt sie im Binomialkoeffizienten: Beim Lotto 6 aus 49 ergibt 49! / (6! · 43!) die 13.983.816 möglichen Tippreihen. Und in der Analysis steht sie in den Nennern von Reihen — 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … nähert sich der Eulerschen Zahl 2,71828…
Wie schnell die Zahl wächst
20! ist 2.432.902.008.176.640.000, also gut zwei Trillionen und 19 Stellen lang. So weit reicht eine vorzeichenbehaftete 64-Bit-Zahl gerade noch, deren größter Wert bei 9.223.372.036.854.775.807 liegt; 21! passt schon nicht mehr hinein.
Bei 70! sind es 101 Stellen, ungefähr 1,2 · 10¹⁰⁰ — das übertrifft die geschätzte Zahl der Atome im sichtbaren Weltall um zwanzig Größenordnungen. Eine gewöhnliche Gleitkommazahl behält davon nur die ersten sechzehn Ziffern und rundet den Rest weg. Dieser Rechner arbeitet stattdessen mit ganzen Zahlen beliebiger Länge und gibt jede Ziffer aus.