Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte: 2x + 3y = 13 und 4x − y = 5. Nur ein einziges Zahlenpaar erfüllt beide zugleich, nämlich x = 2 und y = 3 — die Probe ergibt 4 + 9 = 13 und 8 − 3 = 5.
Ob es dieses Paar überhaupt gibt, entscheidet die Determinante D = a₁·b₂ − a₂·b₁. Hier ist sie 2·(−1) − 4·3 = −14 und damit ungleich null; genau dann liefern x = (c₁·b₂ − c₂·b₁)/D und y = (a₁·c₂ − a₂·c₁)/D die eine Lösung.
Zwei Geraden und ihr Schnittpunkt
Jede Gleichung der Form ax + by = c beschreibt eine Gerade in der Ebene. Wer beide zugleich erfüllen will, sucht den Punkt, der auf beiden Geraden liegt — den Schnittpunkt. Für 2x + 3y = 13 und 4x − y = 5 ist das der Punkt (2 | 3), und dieses Zahlenpaar ist die Lösung des Systems.
Die Determinante vergleicht dabei nichts anderes als die Neigung der beiden Geraden. Ist D ungleich null, laufen sie unterschiedlich steil und kreuzen sich genau einmal. Ist D null, sind sie gleich steil und schneiden sich nirgends — oder überall.
Wenn die Determinante null ist
Für 2x + 3y = 13 und 4x + 6y = 10 ist D = 2·6 − 4·3 = 0. Die zweite Zeile ist links das Doppelte der ersten, verlangt rechts aber 10 statt 26; halbiert man sie, steht dort 2x + 3y = 5. Dieselbe linke Seite kann nicht gleichzeitig 13 und 5 ergeben: Die Geraden verlaufen echt parallel, es gibt keinen Schnittpunkt und keine Lösung.
Steht rechts dagegen 26, ist die zweite Gleichung vollständig das Doppelte der ersten und beschreibt dieselbe Gerade. Dann löst jeder Punkt darauf das System, (2 | 3) ebenso wie (5 | 1). Keine Lösung und unendlich viele Lösungen sind also zwei verschiedene Fälle, obwohl D in beiden null ist — der Rechner benennt, welcher davon vorliegt.
Einsetzen, Gleichsetzen, Addieren — und Determinanten
Im Unterricht sind das Einsetzungs-, das Gleichsetzungs- und das Additionsverfahren üblich: Alle drei formen die Zeilen um, bis eine Unbekannte wegfällt. Der Rechner verwendet stattdessen die Cramersche Regel, die über drei Determinanten in einem Zug zum Ziel kommt. Das Ergebnis ist dasselbe, nur die Zahl der Zwischenschritte unterscheidet sich.
Ein Beispiel aus dem Alltag: Drei Erwachsenen- und zwei Kinderkarten kosten 61 €, eine Erwachsenen- und vier Kinderkarten kosten 47 €. Als 3x + 2y = 61 und x + 4y = 47 geschrieben, ergibt sich D = 3·4 − 1·2 = 10, daraus x = 15 und y = 8. Die Erwachsenenkarte kostet also 15 €, die Kinderkarte 8 €.