Rechner für lineare Gleichungssysteme

VonOleh Soloninaktualisiert 25. September 2026

Ergebnis

Der Schnittpunkt liegt bei x = 2, y = 3. Die Determinante beträgt −14.

Lösung für x

Lösung für y

Determinante D

-14

Rechenweg

D = 2 · (−1) − 4 · 3 = −14; x = (13 · (−1) − 5 · 3) / (−14) = 2; y = (2 · 5 − 4 · 13) / (−14) = 3

Das Ergebnis ist ein Richtwert und ersetzt keine Beratung.

Löst a₁x + b₁y = c₁ und a₂x + b₂y = c₂ nach x und y auf und zeigt die Determinante des Systems.

Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte: 2x + 3y = 13 und 4x − y = 5. Nur ein einziges Zahlenpaar erfüllt beide zugleich, nämlich x = 2 und y = 3 — die Probe ergibt 4 + 9 = 13 und 8 − 3 = 5.

Ob es dieses Paar überhaupt gibt, entscheidet die Determinante D = a₁·b₂ − a₂·b₁. Hier ist sie 2·(−1) − 4·3 = −14 und damit ungleich null; genau dann liefern x = (c₁·b₂ − c₂·b₁)/D und y = (a₁·c₂ − a₂·c₁)/D die eine Lösung.

So benutzen Sie den Rechner

Bringen Sie beide Gleichungen in die Form ax + by = c. Alles ohne x und y gehört auf die rechte Seite.
Tragen Sie die sechs Koeffizienten zeilenweise ein. Fehlt eine Unbekannte in einer Zeile, ist ihr Koeffizient 0; steht dort nur y, ist er 1, bei −y entsprechend −1.
Sehen Sie zuerst auf die Determinante: Ist sie null, gibt es statt eines Schnittpunkts entweder keine oder unendlich viele Lösungen — der Rechner benennt, welcher Fall vorliegt.
Setzen Sie das Zahlenpaar zur Probe in beide Ausgangsgleichungen ein, nicht nur in eine.

Fünf Systeme und ihre Determinante

Die Determinante entscheidet vor jeder Rechnung, ob es überhaupt einen Schnittpunkt gibt. Ihr Betrag und ihr Vorzeichen sagen dagegen nichts über die Lage der Lösung: −14 und 14 führen gleichermaßen zu genau einem Punkt.

Die zweite Zeile ist eine Eintrittspreisaufgabe: Drei Erwachsene und zwei Kinder zahlen 61 €, ein Erwachsener und vier Kinder 47 €. Die vierte Zeile zeigt, wie eine fehlende Unbekannte eingetragen wird — in der zweiten Gleichung steht kein x, also ist a₂ gleich null.

Alle Zeilen stammen aus dem Rechner dieser Seite. In der letzten ist die zweite Gleichung genau das Doppelte der ersten; stünde rechts 10 statt 26, wäre die Determinante ebenfalls null, es gäbe aber gar keine Lösung.
Erste Gleichung	Zweite Gleichung	Determinante	Lösung
2x + 3y = 13	4x − y = 5	−14	x = 2, y = 3
3x + 2y = 61	x + 4y = 47	10	x = 15, y = 8
x + y = 100	x − y = 20	−2	x = 60, y = 40
2x + 3y = 13	y = 3	2	x = 2, y = 3
2x + 3y = 13	4x + 6y = 26	0	dieselbe Gerade, unendlich viele Paare

Zwei Geraden und ihr Schnittpunkt

Jede Gleichung der Form ax + by = c beschreibt eine Gerade in der Ebene, sofern a und b nicht beide null sind. Wer beide zugleich erfüllen will, sucht den Punkt, der auf beiden Geraden liegt — den Schnittpunkt. Für 2x + 3y = 13 und 4x − y = 5 ist das der Punkt (2 | 3), und dieses Zahlenpaar ist die Lösung des Systems.

Die Determinante vergleicht dabei nichts anderes als die Neigung der beiden Geraden. Ist D ungleich null, laufen sie unterschiedlich steil und kreuzen sich genau einmal. Ist D null, sind sie gleich steil und schneiden sich nirgends — oder überall.

Wenn die Determinante null ist

Für 2x + 3y = 13 und 4x + 6y = 10 ist D = 2·6 − 4·3 = 0. Die zweite Zeile ist links das Doppelte der ersten, verlangt rechts aber 10 statt 26; halbiert man sie, steht dort 2x + 3y = 5. Dieselbe linke Seite kann nicht gleichzeitig 13 und 5 ergeben: Die Geraden verlaufen echt parallel, es gibt keinen Schnittpunkt und keine Lösung.

Steht rechts dagegen 26, ist die zweite Gleichung vollständig das Doppelte der ersten und beschreibt dieselbe Gerade. Dann löst jeder Punkt darauf das System, (2 | 3) ebenso wie (5 | 1). Keine Lösung und unendlich viele Lösungen sind also zwei verschiedene Fälle, obwohl D in beiden null ist — der Rechner benennt, welcher davon vorliegt.

Einsetzen, Gleichsetzen, Addieren — und Determinanten

Im Unterricht sind das Einsetzungs-, das Gleichsetzungs- und das Additionsverfahren üblich: Alle drei formen die Zeilen um, bis eine Unbekannte wegfällt. Der Rechner verwendet stattdessen die Cramersche Regel, die über drei Determinanten in einem Zug zum Ziel kommt. Das Ergebnis ist dasselbe, nur die Zahl der Zwischenschritte unterscheidet sich.

Ein Beispiel aus dem Alltag: Drei Erwachsenen- und zwei Kinderkarten kosten 61 €, eine Erwachsenen- und vier Kinderkarten kosten 47 €. Als 3x + 2y = 61 und x + 4y = 47 geschrieben, ergibt sich D = 3·4 − 1·2 = 10, daraus x = 15 und y = 8. Die Erwachsenenkarte kostet also 15 €, die Kinderkarte 8 €.

Quellen

Serlo — freie Lernplattform für Mathematik

Stand der Werte: 2026. Die Ergebnisse sind Orientierungswerte und ersetzen keine fachliche Beratung.

Häufige Fragen

Kann ich Kommazahlen als Koeffizienten eintragen?

Ja, mit Komma als Dezimalzeichen, etwa 0,5 für ein halbes x. Bei Brüchen lohnt sich vorher ein Zwischenschritt: Statt 0,6667x einzutragen, multiplizieren Sie die ganze Gleichung mit 3, dann steht dort exakt 2x und es geht keine Genauigkeit verloren.

Wie prüfe ich das Ergebnis nach?

Setzen Sie das Zahlenpaar in beide Ausgangsgleichungen ein, nicht nur in eine: 2·2 + 3·3 = 13 und 4·2 − 3 = 5. Eine einzelne Gleichung erfüllen unendlich viele Paare, geprüft ist die Lösung erst, wenn beide Zeilen stimmen.

Und bei drei Unbekannten?

Dafür braucht es drei Gleichungen und eine Determinante mit drei Zeilen; dieser Rechner deckt nur Systeme mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten ab. Der Gedanke bleibt derselbe, nur werden aus Geraden Ebenen, und gesucht ist der Punkt, in dem sich alle drei treffen.

Was rechnet die Cramersche Regel genau?

Sie bildet drei Determinanten: D aus den Koeffizienten, dann je eine, bei der eine Koeffizientenspalte durch die rechte Seite ersetzt wird. Für 2x + 3y = 13 und 4x − y = 5 ist D = 2·(−1) − 4·3 = −14, der Zähler für x ist 13·(−1) − 5·3 = −28, geteilt durch −14 ergibt das x = 2. Der Rechner zeigt diese drei Schritte im Rechenweg.

Was bedeutet eine negative Determinante?

Nichts. Ob D null ist oder nicht, entscheidet über die Eindeutigkeit: D ≠ 0 heißt genau eine Lösung, bei D = 0 gibt es keine oder unendlich viele, je nach den rechten Seiten; ein Vorzeichenwechsel entsteht schon, wenn man die beiden Zeilen vertauscht. Bei D = −14 gibt es genau einen Schnittpunkt, bei D = 14 ebenfalls.

Wie trage ich eine Gleichung ein, in der eine Unbekannte fehlt?

Mit dem Koeffizienten null. Zu 2x + 3y = 13 und y = 3 gehören a₂ = 0, b₂ = 1 und c₂ = 3; die Determinante ist dann 2 und die Lösung x = 2, y = 3. So lässt sich auch prüfen, ob ein vermuteter Wert wirklich zum System passt.

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