Signifikante Stellen sind die Ziffern, die eine Messung tatsächlich belegt. In 0,004506 sind das vier: Die drei Nullen am Anfang sind reine Platzhalter — sie geben nur die Größenordnung an, gezählt werden 4, 5, 0 und 6.
Auf drei signifikante Stellen gerundet wird daraus 0,00451, denn die vierte Ziffer ist eine 6 und hebt die Null davor an. Wie viele Stellen zulässig sind, entscheidet dabei nicht die Rechnung, sondern das Messgerät — genauer als abgelesen werden kann, wird kein Ergebnis.
Welche Nullen mitzählen und welche nicht
Drei Regeln reichen aus. Führende Nullen zählen nie mit: 0,004506 und 4,506 · 10⁻³ sind dieselbe Zahl mit denselben vier Stellen. Nullen zwischen Ziffern zählen immer mit, 1002 hat also vier. Und Nullen am Ende hinter dem Komma zählen ebenfalls mit: 1,200 hat vier signifikante Stellen, 1,2 nur zwei.
Der Unterschied ist keine Formsache. 1,200 m sagt aus, dass bis auf den Millimeter genau gemessen wurde; 1,2 m lässt alles zwischen 1,15 und 1,25 m offen. Unklar bleibt allein der Fall ganzer Zahlen mit Endnullen: Bei 1500 ist der geschriebenen Zahl nicht anzusehen, ob zwei, drei oder vier Stellen gemeint sind. Im Unterricht wird dann meist die strengste Lesart genommen, also zwei; dieser Rechner zählt die Ziffern so, wie sie geschrieben stehen, und kommt auf vier. Eindeutig wird die Angabe nur in der Zehnerpotenz, also 1,5 · 10³ gegenüber 1,500 · 10³.
Kein Ergebnis ist genauer als seine Messung
Ein Körper wiegt 24,5 g und verdrängt 3,1 cm³ Wasser. Der Taschenrechner meldet als Dichte 7,903225806… g/cm³, doch das Volumen war nur auf zwei Stellen bekannt. Die Antwort lautet deshalb 7,9 g/cm³: Bei Multiplikation und Division richtet sich das Ergebnis nach dem ungenauesten Faktor, und die übrigen Ziffern sind Scheingenauigkeit, keine Information.
Beim Addieren und Subtrahieren gilt eine andere Regel — dort zählen nicht die signifikanten Stellen, sondern die Nachkommastellen. 12,4 + 0,586 ergibt rechnerisch 12,986, notiert wird 13,0, weil der erste Summand nur eine Nachkommastelle hat. Die feineren Ziffern des zweiten Summanden gehen ins Leere, weil an dieser Position beim ersten schon nichts mehr bekannt ist.
Gerundet wird erst am Schluss
Zwischenergebnisse behält man ungerundet oder mit zwei Stellen Reserve, sonst wandert der Fehler mit. 0,004506 · 220 ergibt 0,99132, auf drei Stellen also 0,991. Wer zuerst auf 0,00451 rundet und dann multipliziert, landet bei 0,992 — in der letzten Stelle daneben, nach einem einzigen Rechenschritt, und über mehrere Schritte summiert sich das.
DIN 1333 regelt, wie gerundet wird: Ist die erste wegfallende Ziffer eine 0 bis 4, bleibt die letzte stehen, bei 5 bis 9 wird aufgerundet. Aus 2,45 wird auf zwei Stellen damit 2,5, und genau so rechnet dieser Rechner. In Teilen der Messtechnik ist stattdessen das Runden zur geraden Ziffer üblich, das aus 2,45 eine 2,4 machen würde — hier ist dieses Verfahren nicht eingebaut. Zulässig sind beide, nur mischen sollte man sie innerhalb einer Rechnung nicht.