Eine geometrische Folge entsteht, wenn jedes Glied aus dem vorigen durch Multiplikation mit demselben Faktor hervorgeht. Bei 3, 6, 12, 24 ist dieser Quotient q = 2: Das achte Glied ist 3 · 2⁷ = 384, und die ersten acht Glieder ergeben zusammen 765.
Der Rechner beantwortet zwei Fragen getrennt: wie groß das n-te Glied ist und wie groß alle Glieder bis dahin zusammen sind. Wächst die Folge, liegen beide Werte weit auseinander. Schrumpft sie, nähert sich die Summe einer festen Zahl an — bei positivem q von unten, bei negativem q abwechselnd von beiden Seiten.
Warum unendlich viele Glieder eine endliche Summe haben
Liegt q betragsmäßig unter eins, wird jedes Glied kleiner als sein Vorgänger, und die Summe läuft gegen einen Grenzwert statt ins Unendliche. Ein Ball, den Sie aus einem Meter Höhe fallen lassen und der nach jedem Aufprall 60 % der vorigen Höhe erreicht, springt unendlich oft — er legt dabei aber nur 4 Meter zurück: einen Meter nach unten und danach 2 · 0,6 / 0,4 = 3 Meter für alle Auf- und Abwege zusammen.
Dahinter steht die Formel a₁ / (1 − q). Für a₁ = 4 und q = 0,5 ergibt 4 + 2 + 1 + 0,5 + … genau 8; je mehr Glieder Sie addieren, desto näher kommen Sie dieser 8, ohne sie je zu überschreiten. Ab einem Betrag von 1 gibt es dagegen keinen Grenzwert mehr: Für q ≥ 1 wächst die Summe über jede Grenze, bei negativem q springt sie zwischen Werten hin und her, ohne sich auf einen einzupendeln — bei q = −1 zwischen a₁ und null, darunter mit immer größeren Ausschlägen. In beiden Fällen zeigt der Rechner statt eines Wertes einen Strich an.
Zinseszins ist eine geometrische Folge
Ein Guthaben, das jedes Jahr mit demselben Satz verzinst wird, bildet genau eine solche Folge; q ist dabei 1 plus der Zinssatz, bei 3 % also 1,03. Aus 1000 € werden so nach zehn Jahren 1343,92 € — im Rechner mit a₁ = 1000, q = 1,03 und n = 11, denn das Startkapital ist bereits das erste Glied und der Stand nach zehn Jahren damit das elfte.
Verwechseln Sie das Glied nicht mit der Summe. Wer zehn Jahre lang jeweils am Jahresende 1000 € einzahlt und 3 % erhält, hat am Ende 11.463,88 € — das ist die Summe der ersten zehn Glieder zu a₁ = 1000 und q = 1,03, nicht ein einzelnes Glied. Das Glied beantwortet die Frage nach einem Zeitpunkt, die Summe die nach allem, was bis dahin zusammengekommen ist.
q = 1 und negative Quotienten
Bei q = 1 wiederholt sich dasselbe Glied endlos. Die übliche Summenformel würde hier durch null teilen, deshalb rechnet der Rechner in diesem Fall schlicht n · a₁: Fünf Glieder mit dem Wert 7 ergeben 35. Eine unendliche Summe gibt es nicht, weil nichts kleiner wird.
Ein negatives q lässt die Vorzeichen abwechseln. Mit a₁ = 4 und q = −0,5 lautet die Folge 4, −2, 1, −0,5, 0,25; diese fünf Glieder ergeben 2,75, und mit jedem weiteren Glied pendelt sich die Summe bei 4 / 1,5 = rund 2,67 ein — abwechselnd von oben und von unten. Auch hier entscheidet allein der Betrag von q darüber, ob eine unendliche Summe existiert.