Rechner für geometrische Folgen

VonOleh Soloninaktualisiert 25. September 2026

Ergebnis

Das 8. Glied ist 384, die Summe der ersten 8 Glieder 765.

n-tes Glied

384

Summe der ersten n Glieder

765

Summe der unendlichen Reihe

—

Rechenweg

aₙ = 3 · 2^(8 − 1) = 384; Sₙ = 3 · (2^8 − 1) / (2 − 1) = 765

Das Ergebnis ist ein Richtwert und ersetzt keine Beratung.

n-tes Glied, Summe der ersten n Glieder und die unendliche Reihe, wenn q betragsmäßig unter 1 liegt.

Eine geometrische Folge entsteht, wenn jedes Glied aus dem vorigen durch Multiplikation mit demselben Faktor hervorgeht. Bei 3, 6, 12, 24 ist dieser Quotient q = 2: Das achte Glied ist 3 · 2⁷ = 384, und die ersten acht Glieder ergeben zusammen 765.

Der Rechner beantwortet zwei Fragen getrennt: wie groß das n-te Glied ist und wie groß alle Glieder bis dahin zusammen sind. Wächst die Folge, liegen beide Werte weit auseinander. Schrumpft sie, nähert sich die Summe einer festen Zahl an — bei positivem q von unten, bei negativem q abwechselnd von beiden Seiten.

So benutzen Sie den Rechner

Tragen Sie a₁ ein, das erste Glied der Folge.
Bestimmen Sie q, indem Sie ein Glied durch das vorhergehende teilen: Bei 3, 6, 12, 24 ist q = 2. Wächst ein Wert je Schritt um 3 Prozent, ist q = 1,03.
Geben Sie n ein. Sie erhalten das n-te Glied, die Summe der ersten n Glieder und — sofern q betragsmäßig unter eins liegt — den Grenzwert der unendlichen Reihe.

Die Folge 3, 6, 12, 24 … und ihre Summen

Beim Verdoppeln wächst das Glied schnell, und die Summe hält Schritt: Bei q = 2 liegt jede Summe genau um a₁ = 3 unter dem doppelten letzten Glied, hier also 2 · 384 − 3 = 765. Alle Glieder davor zusammen sind damit noch kleiner als das letzte allein — das ist der Grund, warum Verdopplungsgeschichten wie die vom Reiskorn auf dem Schachbrett so unanschaulich enden.

Zwischen n = 10 und n = 20 wächst das Glied von 1.536 auf 1.572.864, also um das Tausendfache. Zehn Verdopplungen entsprechen ungefähr dem Faktor 1.000 — eine Faustregel, die auch bei Datenmengen und Zinsen trägt.

Gerechnet mit a₁ = 3 und q = 2 nach aₙ = a₁ · q^(n−1) und Sₙ = a₁ · (qⁿ − 1) / (q − 1).
n	n-tes Glied	Summe der ersten n Glieder
1	3	3
5	48	93
8	384	765
10	1.536	3.069
15	49.152	98.301
20	1.572.864	3.145.725

Wenn q unter eins liegt: die unendliche Summe

Ist q betragsmäßig kleiner als eins, werden die Glieder immer kleiner, und die Summe läuft gegen einen festen Wert: a₁ geteilt durch (1 − q). Bei positivem a₁ und q zwischen 0 und 1 nähern sich die Teilsummen ihm von unten; bei negativem q pendeln sie um ihn herum und können ihn überschreiten.

Wie schnell dieser Grenzwert erreicht wird, hängt ganz an q. Bei 0,5 fehlen nach zehn Gliedern nur noch knapp 2 von 2.000; bei 0,9 sind nach denselben zehn Gliedern erst 6.513 von 10.000 beisammen. Bei negativem q pendeln die Teilsummen um den Grenzwert, statt sich ihm von unten zu nähern.

Alle Zeilen mit a₁ = 1.000 gerechnet. Die vierte entspricht einem Guthaben von 1.000 €, das jährlich um 3 % wächst: Nach neun Jahren steht es bei 1.304,77 €, denn das erste Glied ist der Anfangswert.
q	10. Glied	Summe der ersten 10	Unendliche Summe
0,5	1,95	1.998,05	2.000
0,9	387,42	6.513,22	10.000
−0,5	−1,95	666,02	666,67
1,03	1.304,77	11.463,88	keine — q liegt über eins
2	512.000	1.023.000	keine — q liegt über eins

Warum unendlich viele Glieder eine endliche Summe haben

Liegt q betragsmäßig unter eins, wird jedes Glied kleiner als sein Vorgänger, und die Summe läuft gegen einen Grenzwert statt ins Unendliche. Ein Ball, den Sie aus einem Meter Höhe fallen lassen und der nach jedem Aufprall 60 % der vorigen Höhe erreicht, springt unendlich oft — er legt dabei aber nur 4 Meter zurück: einen Meter nach unten und danach 2 · 0,6 / 0,4 = 3 Meter für alle Auf- und Abwege zusammen.

Dahinter steht die Formel a₁ / (1 − q). Für a₁ = 4 und q = 0,5 ergibt 4 + 2 + 1 + 0,5 + … genau 8; je mehr Glieder Sie addieren, desto näher kommen Sie dieser 8, ohne sie je zu überschreiten. Ab einem Betrag von 1 gibt es dagegen keinen Grenzwert mehr: Für q ≥ 1 wächst die Summe über jede Grenze, bei negativem q springt sie zwischen Werten hin und her, ohne sich auf einen einzupendeln — bei q = −1 zwischen a₁ und null, darunter mit immer größeren Ausschlägen. In beiden Fällen zeigt der Rechner statt eines Wertes einen Strich an.

Zinseszins ist eine geometrische Folge

Ein Guthaben, das jedes Jahr mit demselben Satz verzinst wird, bildet genau eine solche Folge; q ist dabei 1 plus der Zinssatz, bei 3 % also 1,03. Aus 1000 € werden so nach zehn Jahren 1343,92 € — im Rechner mit a₁ = 1000, q = 1,03 und n = 11, denn das Startkapital ist bereits das erste Glied und der Stand nach zehn Jahren damit das elfte.

Verwechseln Sie das Glied nicht mit der Summe. Wer zehn Jahre lang jeweils am Jahresende 1000 € einzahlt und 3 % erhält, hat am Ende 11.463,88 € — das ist die Summe der ersten zehn Glieder zu a₁ = 1000 und q = 1,03, nicht ein einzelnes Glied. Das Glied beantwortet die Frage nach einem Zeitpunkt, die Summe die nach allem, was bis dahin zusammengekommen ist.

q = 1 und negative Quotienten

Bei q = 1 wiederholt sich dasselbe Glied endlos. Die übliche Summenformel würde hier durch null teilen, deshalb rechnet der Rechner in diesem Fall schlicht n · a₁: Fünf Glieder mit dem Wert 7 ergeben 35. Eine unendliche Summe gibt es nicht, weil nichts kleiner wird.

Ein negatives q lässt die Vorzeichen abwechseln. Mit a₁ = 4 und q = −0,5 lautet die Folge 4, −2, 1, −0,5, 0,25; diese fünf Glieder ergeben 2,75, und mit jedem weiteren Glied pendelt sich die Summe bei 4 / 1,5 = rund 2,67 ein — abwechselnd von oben und von unten. Auch hier entscheidet der Betrag von q darüber, ob eine unendliche Summe existiert — sofern a₁ nicht null ist; mit a₁ = 0 ist jede Summe null.

Quellen

Serlo — freie Lernplattform für Mathematik

Stand der Werte: 2026. Die Ergebnisse sind Orientierungswerte und ersetzen keine fachliche Beratung.

Häufige Fragen

Worin unterscheidet sich eine geometrische von einer arithmetischen Folge?

In der Rechenart, die von einem Glied zum nächsten führt. Bei der arithmetischen Folge kommt eine feste Zahl hinzu — 3, 6, 9, 12 mit der Differenz 3. Bei der geometrischen wird mit einer festen Zahl multipliziert — 3, 6, 12, 24 mit dem Quotienten 2. Schon nach wenigen Schritten liegen beide weit auseinander: Das zehnte Glied ist einmal 30 und einmal 1536.

Wie bestimme ich q, wenn ich nur zwei Glieder kenne?

Teilen Sie das spätere durch das frühere, von null verschiedene Glied und ziehen Sie daraus die Wurzel, deren Grad dem Abstand der beiden Nummern entspricht — bei a₁ und a₄ also die dritte. Ist der Abstand gerade, kommen zwei Vorzeichen in Frage: a₁ = 1 und a₃ = 4 passen zu q = 2 wie zu q = −2. Sind a₁ = 5 und a₄ = 40 bekannt, ist 40 / 5 = 8, und die dritte Wurzel aus 8 ergibt q = 2. Die Folge lautet also 5, 10, 20, 40.

Warum steht bei der unendlichen Summe häufig nur ein Strich?

Weil es sie dann nicht gibt. Ab einem Betrag von 1 werden die Glieder nicht mehr kleiner: Bei q = 2 verdoppelt sich jedes Glied, und die Summe wächst über jede Grenze; bei q = −1 springt sie nur noch zwischen zwei Werten hin und her, bei a₁ = 4 also zwischen 4 und 0. Einen Grenzwert gibt es in keinem der beiden Fälle. Ein Zahlenwert erscheint nur, wenn q zwischen −1 und 1 liegt.

Wann hat die unendliche Reihe überhaupt eine Summe?

Nur wenn q betragsmäßig unter eins liegt. Dann ist sie a₁ geteilt durch (1 − q): Bei a₁ = 1.000 und q = 0,5 sind das 2.000, und die ersten zehn Glieder ergeben bereits 1.998,05. Ist q betragsmäßig eins oder größer, gibt es keinen Grenzwert — die Teilsummen wachsen oder springen wie bei q = −1 zwischen a₁ und 0 —, und der Rechner lässt das Feld leer; nur bei a₁ = 0 ist die Summe für jedes q null.

Wie rechne ich Zinsen als geometrische Folge?

Der Quotient ist 1 plus Zinssatz durch 100, bei 3 Prozent also 1,03. Ein Guthaben von 1.000 € ist dann das erste Glied, und das zehnte Glied — 1.304,77 € — ist der Stand nach neun Jahren. Wer den Stand nach zehn Jahren sucht, gibt n = 11 ein.

Was passiert bei negativem q?

Die Glieder wechseln bei jedem Schritt das Vorzeichen. Mit a₁ = 1.000 und q = −0,5 ist das zehnte Glied −1,95, die Summe der ersten zehn 666,02 und die unendliche Summe 666,67. Weil der Betrag unter eins liegt, existiert der Grenzwert trotz der wechselnden Vorzeichen.

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