Escribes un entero y la página devuelve sus divisores en orden, cuántos son, la suma de todos ellos, la descomposición en factores primos y la etiqueta que le corresponde: perfecto, abundante o deficiente. Con 28 salen 1, 2, 4, 7, 14 y 28; son seis divisores que suman 56, y como los cinco primeros suman 28, el número es perfecto. El cálculo admite enteros desde 1 hasta un billón.
Lo que no se ve es el atajo. Los divisores no se buscan probando uno por uno hasta llegar al número: primero se factoriza dividiendo por 2, 3, 5, 7… y basta con subir hasta la raíz cuadrada, porque a partir de ahí cada factor ya tiene su pareja. Después la lista se arma combinando las potencias de esos primos. Con un billón, la búsqueda ciega serían 10¹² pasos; buscar factores hasta la raíz son 10⁶, y montar la lista, unas decenas: 10¹² = 2¹²·5¹² y de ahí salen 169 divisores.
La suma incluye el propio número
El campo de la suma recoge todos los divisores, el propio número incluido; para 28 vale 56, no 28. La clasificación, en cambio, mira solo los divisores propios, los que dejan fuera al número: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, y por eso 28 es perfecto. Es la confusión más habitual con esta clase de resultados, y viene de que en clase se manejan las dos sumas casi con el mismo nombre. Si lo que necesitas es la suma de los divisores propios, resta el número a la cifra que aparece en pantalla.
Con esa resta hecha, las tres etiquetas se leen solas. En 12 los divisores propios son 1, 2, 3, 4 y 6, que suman 16: más que 12, así que es abundante. En 8 son 1, 2 y 4, que suman 7: menos que 8, deficiente. Y cualquier primo es deficiente por definición, porque su único divisor propio es el 1. El caso llamativo es el impar abundante: el primero es 945, y por debajo de esa cifra todos los abundantes son pares, algo que sorprende a quien espera encontrarlos repartidos por igual.
Por qué 60 tiene más divisores que 97
El tamaño no manda; manda la forma de la factorización. 60 = 2²·3·5, y la cantidad de divisores sale de multiplicar cada exponente aumentado en uno: (2+1)·(1+1)·(1+1) = 12. 97 es primo, su factorización es 97¹ y la cuenta da (1+1) = 2. Un número grande con un solo factor primo se queda en dos divisores y ahí termina; uno más pequeño repartido en varios primos tiene muchos. 100 = 2²·5² da nueve, menos que 60 pese a ser mayor, y esa es la razón por la que 12 y 60 se usan tanto para repartir: se dividen de muchas maneras.
Esa multiplicación crece deprisa, y por eso la lista se corta. 720 720 = 2⁴·3²·5·7·11·13 tiene 5·3·2·2·2·2 = 240 divisores, y en pantalla aparecen los 200 primeros con el aviso de que quedan más fuera. La cantidad, la suma y la descomposición siguen siendo las del número completo: solo se recorta lo que se imprime, porque una lista de cientos de cifras no la lee nadie. Si buscas un divisor concreto que caiga fuera del corte, divide el número entre él y comprueba que el resto es cero.
Perfectos, y por qué el 1 no es primo
Un número perfecto es igual a la suma de sus divisores propios. Los cuatro primeros son 6, 28, 496 y 8128, y el siguiente ya tiene ocho cifras: no aparecen a cada paso. Se conocen 52 en total, todos pares, y cada uno va emparejado con un primo de Mersenne, de ahí que estén tan espaciados. Las sucesiones de números perfectos, abundantes y deficientes están catalogadas en la Enciclopedia en línea de sucesiones de enteros, y las definiciones formales de la función de divisores, en la Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST.
Nadie ha encontrado un número perfecto impar y nadie ha demostrado que no exista, así que la pregunta sigue abierta. El 1 merece un comentario aparte: no es primo, porque un primo tiene exactamente dos divisores, el 1 y él mismo, y el 1 solo tiene uno. Su factorización sale vacía y queda clasificado como deficiente, con suma de divisores propios igual a cero. Tampoco entran el 0, los negativos ni los decimales: preguntar por los divisores de 7,5 no tiene sentido entre enteros, y el cálculo lo rechaza en lugar de redondear por su cuenta.