Introduce la longitud de los tres lados y la página devuelve el área, el perímetro, los tres ángulos en grados, las tres alturas y el tipo de triángulo. Con 3, 4 y 5 el área es 6 y el perímetro 12; los ángulos salen α = 36,87°, β = 53,13° y γ = 90°, cada uno opuesto al lado de su misma letra, y las alturas son 4 sobre el lado a, 3 sobre el b y 2,4 sobre el c. No hay que elegir unidad: si mides en centímetros, el área queda en centímetros cuadrados.
Lo que casi nadie espera es que tres números cualesquiera no sirven. Con 1, 2 y 5 no existe ninguna figura, porque el lado largo pasa de la suma de los otros dos: la calculadora lo dice con un aviso en lugar de devolver un número, que es lo que suelen hacer las hojas de cálculo improvisadas. Y el tipo tampoco es una sola etiqueta: se decide dos veces, por lados y por ángulos, y las dos respuestas son independientes entre sí.
Cuando tres números no cierran una figura
La condición es que cada lado sea menor que la suma de los otros dos, y menor de verdad, no menor o igual. Por eso 1, 2 y 5 se rechazan de inmediato, pero también se rechaza el caso que más discusiones genera en clase: 2, 3 y 5. Ahí la suma de los dos lados cortos da exactamente el largo, así que los tres segmentos se apoyan en una misma recta y encierran una superficie nula. Es un triángulo degenerado, no un triángulo, y devolver un área de cero como si fuera un resultado normal confunde más de lo que ayuda.
En la práctica esto aparece con medidas reales. Si tomas tres distancias en obra y las redondeas a centímetros, la terna redondeada puede dejar de cumplir la desigualdad aunque la original la cumpliera por un margen mínimo; cuando eso ocurre, el problema está en el redondeo y conviene volver a los milímetros. Lo mismo pasa al copiar valores de un plano con el separador decimal equivocado: un 4,5 leído como 45 rompe la figura al instante. Los lados negativos o iguales a cero se rechazan por el mismo motivo.
Por qué el área usa la forma estable de Herón
La fórmula de Herón que se enseña, con el semiperímetro s y la raíz de s(s−a)(s−b)(s−c), es correcta sobre el papel y frágil en un ordenador. En un triángulo muy alargado —una aguja con dos lados casi iguales y uno diminuto— el valor de s−a es la resta de dos números casi idénticos, y esa resta se lleva por delante cifras significativas que ya no vuelven: el resultado puede quedar con muchas menos cifras fiables que los datos de entrada. No es un fallo de la máquina, es la forma de escribir la expresión.
Aquí el área se calcula con la variante estable que propuso William Kahan: se ordenan los lados de mayor a menor y se agrupan los factores de modo que no aparezca ninguna resta entre cantidades casi iguales. Con lados corrientes las dos versiones coinciden hasta el último dígito que vas a mirar; la diferencia aparece solo en los casos extremos. Las tres alturas se obtienen del área como 2·área dividido entre cada lado, así que heredan esa precisión. Para el detalle de las funciones implicadas está la Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas del NIST, y la notación de magnitudes y signos matemáticos la fija ISO — Organización Internacional de Normalización.
Dos clasificaciones que no dependen una de la otra
Un triángulo se clasifica por lados —equilátero, isósceles, escaleno— y por ángulos —acutángulo, rectángulo, obtusángulo—, y son dos preguntas distintas, no dos maneras de decir lo mismo. El de 3, 4 y 5 es escaleno y rectángulo a la vez; el de lados 1, 1 y raíz de 2 es isósceles y también rectángulo; el equilátero es siempre acutángulo, porque sus tres ángulos miden 60°. El error habitual es dar por hecho que isósceles implica acutángulo, o que escaleno excluye el ángulo recto, y ninguna de las dos cosas se sostiene.
La igualdad de lados se comprueba con una tolerancia, y esa decisión es deliberada. Quien escribe 3, 3 y 3,0000000001 está describiendo un triángulo equilátero, no uno isósceles: la última cifra viene de un redondeo o de un cálculo intermedio, no de la figura que tiene en la cabeza. Comparar con igualdad exacta daría una respuesta técnicamente cierta e inútil. El ángulo recto se reconoce con el mismo criterio, con un margen de una diezmillonésima de grado alrededor de los 90°, de modo que una desviación menor que eso sigue leyéndose como rectángulo en vez de convertirse en obtusángulo por un pelo.