Escribe la matriz fila a fila, una fila por línea, y obtendrás cuatro resultados a la vez: el determinante, la traza, la transpuesta y la inversa. Dentro de cada fila los valores se separan con espacios o con punto y coma, nunca con comas, porque en español la coma es el separador decimal y «1,5 2» son dos números: uno y medio y dos. Todas las filas deben llevar la misma cantidad de valores, y el tamaño máximo admitido es de 8×8.
El determinante no es solo un número que aparece en los exámenes: mide cuánto estira o encoge el área una transformación del plano, y el volumen si trabajas en el espacio. Un determinante de 3 significa que cualquier figura sale con el triple de área, y el signo negativo avisa de que la orientación se ha dado la vuelta, como en un reflejo. Cuando vale cero, la transformación aplasta el plano sobre una recta o sobre un punto, y entonces la casilla de la inversa se queda vacía.
Cómo escribir la matriz sin equivocarse
Cada línea del cuadro es una fila. Dentro de una fila, los valores se separan con uno o varios espacios, o con punto y coma: «1 2 3» y «1; 2; 3» son exactamente la misma fila. La coma no separa nada, porque cumple otro papel: es el decimal. Si escribes «1,5 2» obtendrás una fila de dos números, uno y medio y dos, y no tres. Quien copia los datos de una hoja de cálculo suele pegarlos separados por comas y ve un error o una matriz que no reconoce; sustituir esas comas por punto y coma resuelve el problema en un segundo.
Las líneas en blanco se ignoran, así que puedes separar bloques visualmente sin romper nada, pero todas las filas tienen que llevar la misma cantidad de valores. Una fila con un número de más o de menos no se completa con ceros: la matriz entera se rechaza, y es lo correcto, porque rellenar el hueco sería inventar un dato que nadie ha escrito. El tamaño máximo aceptado es de 8×8, suficiente para los ejercicios y para la mayoría de los problemas que se plantean a mano.
Un determinante de cero cierra la puerta, no la entorna
Cuando el determinante vale cero, la matriz inversa no existe. No es que sea difícil de calcular o que salga con números enormes: no existe, igual que no existe el cociente de dividir entre cero. Por eso aquí la casilla de la inversa se queda vacía en lugar de mostrar cifras astronómicas que cualquiera tomaría por un resultado válido. Traducido a sistemas de ecuaciones: una matriz de coeficientes con determinante cero describe un sistema que o no tiene ninguna solución, o tiene infinitas. Lo que nunca tendrá es una solución única.
La consecuencia práctica es que, si estás resolviendo un sistema y el determinante sale cero, no hay que buscar otra fórmula de inversión, sino mirar las filas: alguna depende de las demás. Dos filas proporcionales, o una que es la suma de otras dos, bastan para anular el determinante. Conviene añadir un aviso: los determinantes minúsculos se tratan como cero, porque a esa escala el valor ya está dominado por el redondeo de los decimales y una inversa construida sobre él no sería fiable.
Gauss con pivoteo en lugar de la regla de Sarrus
La regla de Sarrus, la de las diagonales cruzadas, solo sirve para matrices de 3×3. Estirarla hasta 4×4 es uno de los errores más repetidos en clase: el dibujo de las diagonales parece seguir funcionando y el número que sale no guarda ninguna relación con el determinante. Aquí el cálculo se hace por eliminación de Gauss: se generan ceros por debajo de la diagonal y el determinante es el producto de lo que queda en ella, cambiando de signo cada vez que se intercambian dos filas. El método no depende del tamaño de la matriz.
El detalle que marca la diferencia es el pivoteo. Antes de cada paso se busca la fila con el valor absoluto más grande en esa columna y se lleva a la posición del pivote, porque dividir entre un número casi nulo amplifica el error de redondeo hasta dejar el resultado sin sentido. Es la misma precaución que toman las bibliotecas de referencia del álgebra lineal numérica: LAPACK — Paquete de Álgebra Lineal. Las definiciones de determinante, traza e inversa se pueden contrastar en la Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas del NIST.