La puntuación Z dice a cuántas desviaciones típicas está un valor de la media de su grupo: se resta la media y se divide por la desviación típica. Con 185 cm en un grupo de media 178 y desviación 7, la z vale exactamente 1. Esa cifra sin unidades es lo que permite comparar cosas que en bruto no se pueden comparar —una estatura en centímetros y una nota de examen en puntos—, porque ambas quedan medidas con la misma vara.
Lo que no todo el mundo espera es que el percentil no sale de la z por sí solo. Para traducir z = 1 en «por debajo queda el 84,13 %» hace falta suponer que los datos siguen una distribución normal. La calculadora hace esa suposición y conviene saberlo: el percentil, el porcentaje por encima y el valor a dos colas salen de la normal estándar. Si su distribución es asimétrica, la z sigue siendo correcta y el percentil deja de serlo.
El percentil solo vale si la distribución es normal
La z es pura aritmética: una resta y una división. Vale para cualquier conjunto de números, tenga la forma que tenga. El percentil es otra cosa: para pasar de z = 1 al 84,13 % hay que recorrer la curva normal, y esa curva es una hipótesis sobre sus datos, no un hecho comprobado. En estaturas, en errores de medida o en las notas de un examen amplio la hipótesis suele aguantar. En sueldos, en tiempos de espera o en número de hijos por familia no aguanta.
El caso de los ingresos es el más claro. La distribución está sesgada a la derecha: unos pocos valores muy altos tiran de la media hacia arriba, de modo que bastante más de la mitad de la gente cobra por debajo de la media. Un sueldo con z = 0 no está en el percentil 50, sino más arriba, y una z = 2 no deja por debajo al 97,7 % sino a un porcentaje distinto que solo se averigua mirando los datos reales. Cuando la forma es dudosa, use la z para ordenar y comparar, y saque el percentil contando cuántas observaciones quedan por debajo.
La regla 68-95-99,7 y lo que no dice
Los tres números que todo el mundo recuerda son la otra cara de la casilla de dos colas: dentro de una desviación típica alrededor de la media cae el 68,27 % de los valores, dentro de dos el 95,45 % y dentro de tres el 99,73 %. La calculadora los da del revés, que es lo que interesa aquí: con z = 1 queda un 31,73 % de valores que se apartan de la media al menos tanto como el suyo; con z = 2, un 4,55 %; con z = 3, un 0,27 %. Los da con decimales, pero la regla de bolsillo 68-95-99,7 basta para casi todo.
El porcentaje a dos colas es el que se cuela en las conversaciones sobre significación. Una z de 1,96 deja fuera casi exactamente el 5 %, y de ahí viene la costumbre de llamar «significativo» a lo que lo supera. Conviene separar las dos cosas: la calculadora sitúa un valor dentro de una distribución conocida; no contrasta hipótesis ni tiene en cuenta cuántas comparaciones hizo usted antes de encontrar esta. Si mira veinte grupos y se queda con el que más se aparta, es normal que ese cruce el 5 %: una de cada veinte comparaciones lo hace por pura suerte.
Desviación cero, signo negativo y muestra frente a población
Dos preguntas se repiten. La primera: por qué la calculadora se niega a responder cuando la desviación típica es cero. Porque cero significa que todos los valores del conjunto son idénticos; no hay dispersión con la que medir la distancia, la división no está definida y cualquier número que devolviera sería inventado. Lo mismo ocurre con una desviación negativa: es una raíz cuadrada, nunca sale por debajo de cero, y si la suya lo hace, el error está en el cálculo anterior.
La segunda: qué significa una z negativa. Significa «por debajo de la media», nada más. En un tiempo de carrera o en un nivel de colesterol, estar por debajo suele ser lo bueno; en una nota, no. El signo indica el lado, no la calidad. Y un detalle que cambia el resultado sin que se note: si su desviación típica viene de una muestra, se calculó dividiendo entre n − 1, y entonces la z que obtiene aquí es una estimación, no el valor de la población. Con muestras pequeñas lo indicado es la distribución t de Student en lugar de la normal. Las definiciones empleadas siguen el NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, y la Asociación Estadounidense de Estadística publica material divulgativo sobre estos mismos puntos.