Dreieck berechnen aus drei Seiten

VonOleh Soloninaktualisiert 25. September 2026

Ergebnis

Ein ungleichseitiges, rechtwinkliges Dreieck: Fläche 6, Umfang 12. Die Winkel messen 36,87°, 53,13° und 90°.

Fläche

Umfang

Winkel α, β, γ in Grad

36,87° · 53,13° · 90°

Höhen auf a, b und c

4 · 3 · 2,4

Art des Dreiecks

ungleichseitig, rechtwinklig

Rechenweg

Umfang: 3 + 4 + 5 = 12; Fläche nach Heron: 6

Das Ergebnis ist ein Richtwert und ersetzt keine Beratung.

Aus drei Seitenlängen entstehen Fläche, Umfang, alle Winkel, alle Höhen und die Art des Dreiecks.

Sie geben drei Seitenlängen ein – a, b und c – und erhalten alles, was sich daraus eindeutig ergibt: die Fläche, den Umfang, alle drei Winkel in Grad, alle drei Höhen und die Art des Dreiecks. Drei Seiten legen ein Dreieck vollständig fest, deshalb fragt der Rechner nach keinem weiteren Wert. Die Einheit bestimmen Sie selbst: Rechnen Sie in Zentimetern, kommt der Umfang in Zentimetern und die Fläche in Quadratzentimetern heraus.

Nicht jedes Zahlentripel ist ein Dreieck. 1, 2 und 5 ergeben keine Figur, weil die beiden kurzen Seiten zusammen nicht bis zum Ende der langen reichen – und genau darauf antwortet der Rechner mit einem Hinweis statt mit einer Zahl. Das ist kein Sonderfall für Prüfungsaufgaben: Bei nachgemessenen Wänden oder Grundstücksseiten kommt es regelmäßig vor, dass ein Maß um ein paar Zentimeter danebenliegt und die drei Werte sich anschließend widersprechen.

So benutzen Sie den Rechner

Tragen Sie die drei Seitenlängen ein.
Lesen Sie Fläche, Umfang, Winkel und Höhen ab.
Die Form nennt der Rechner mit: gleichseitig, gleichschenklig oder ungleichseitig, spitz-, recht- oder stumpfwinklig.

Drei Seiten genügen

Aus drei Seiten folgt alles Übrige: Fläche über die Formel von Heron, Winkel über den Kosinussatz, Höhen aus der Fläche. Bei 3, 4 und 5 ergibt das die Fläche 6, den Umfang 12 und die Winkel 36,87°, 53,13° und 90°.

Drei Winkel genügen dagegen nie. Sie legen die Form fest, aber nicht die Größe — genau das meint Ähnlichkeit. Für eine Fläche braucht es mindestens eine Länge.

Mit diesem Rechner gerechnet.
Seiten	Fläche	Umfang	Form
3, 4, 5	6	12	rechtwinklig
5, 5, 5	10,83	15	gleichseitig
5, 5, 8	12	18	gleichschenklig, stumpfwinklig

Erst die Dreiecksungleichung, dann die Zahlen

Drei Längen bilden nur dann ein Dreieck, wenn jede Seite kürzer ist als die beiden anderen zusammen. Bei 1, 2 und 5 ist das verletzt: Die kurzen Seiten reichen nicht bis zum Ende der langen, die Figur schließt sich nicht. Der Rechner prüft alle drei Bedingungen, bevor er überhaupt etwas berechnet, und gibt in diesem Fall einen Hinweis aus – keine Fläche, kein NaN, keine Null. Das ist wichtiger, als es klingt: Eine Null als Fläche sähe aus wie ein Ergebnis und würde im nächsten Schritt ungeprüft weiterverrechnet.

Der Grenzfall gehört ausdrücklich dazu. Ist eine Seite genau so lang wie die beiden anderen zusammen – 2, 3 und 5 –, liegen alle drei Punkte auf einer Geraden: Fläche null, ein Winkel von 180 Grad, keine Höhen. Auch das wird abgelehnt, und zwar bewusst. In der Praxis stammt so ein Tripel fast immer vom Maßband: Eine Diagonale wurde schräg gemessen, oder ein Maß wurde außen statt innen genommen. Wenn der Rechner ablehnt, lohnt es sich, zuerst die längste Seite nachzumessen – dort steckt der Fehler häufiger als bei den kurzen.

Die Fläche kommt aus einer stabilen Form der Heron-Formel

Aus drei Seiten lässt sich die Fläche ohne den Umweg über eine Höhe bestimmen. Die Formel dafür ist seit der Antike bekannt und steht in jeder Formelsammlung mit dem halben Umfang s als Zwischenwert. Sie ist mathematisch richtig – und auf einem Computer trotzdem heikel. Bei einem sehr flachen, fast plattgedrückten Dreieck liegen s und die einzelnen Seiten dicht beieinander, die Differenzen s minus a werden zur Subtraktion fast gleicher Zahlen, und dabei fallen genau die Stellen weg, auf die es ankommt.

Dieser Rechner benutzt deshalb die von William Kahan beschriebene Umsortierung derselben Formel: Die Seiten werden der Größe nach geordnet und die Faktoren so gruppiert, dass die Auslöschung gegenüber der direkten Heron-Formel deutlich geringer ausfällt. Für Alltagsdreiecke wie 3, 4, 5 kommt dabei dasselbe heraus wie mit der Schulschreibweise – die Fläche ist 6, der Umfang 12. Der Unterschied zeigt sich erst bei Eingaben mit vielen Stellen und stark ungleichen Seiten, also genau dort, wo ein falscher Wert am wenigsten auffällt. Die Höhen folgen aus der Fläche, jede als doppelte Fläche geteilt durch die zugehörige Seite; bei 3, 4, 5 sind das 4, 3 und 2,4.

Gleichschenklig und rechtwinklig sind zwei verschiedene Fragen

Die Art eines Dreiecks wird hier zweimal bestimmt, weil es zwei voneinander unabhängige Einteilungen gibt. Nach den Seiten: gleichseitig, wenn alle drei gleich lang sind, gleichschenklig bei genau zwei gleichen, sonst ungleichseitig. Nach den Winkeln: spitzwinklig, wenn alle unter 90 Grad bleiben, rechtwinklig bei genau 90 Grad, stumpfwinklig, sobald einer darüber liegt. Erst beide Angaben zusammen ergeben das Bild – ein Dreieck kann gleichschenklig und rechtwinklig sein, und 3, 4, 5 ist ungleichseitig und rechtwinklig zugleich.

Die Gleichheit zweier Seiten wird mit einer kleinen Toleranz geprüft, nicht auf die letzte Stelle genau. Wer 3, 3 und 3,0000000001 eintippt – weil ein Wert aus einer Umrechnung stammt –, meint meist ein gleichseitiges Dreieck; der Rechner zeigt es innerhalb seiner Toleranz so an, obwohl die Zahlen streng genommen ein gleichschenkliges beschreiben. Wirklich verschiedene Seiten wie 3 und 3,001 trennt die Prüfung dagegen sauber. Beim rechten Winkel ist die Schranke sehr viel enger: Rechtwinklig steht erst dann da, wenn der größte Winkel bis auf ein Zehnmillionstel Grad genau bei 90 liegt. Nachgemessene Werte treffen das praktisch nie und ergeben spitz- oder stumpfwinklig; wie schief die Ecke ist, lesen Sie dann am Winkel selbst ab – α liegt der Seite a gegenüber, β der Seite b und γ der Seite c.

Quellen

Stand der Werte: 2026. Die Ergebnisse sind Orientierungswerte und ersetzen keine fachliche Beratung.

Häufige Fragen

Warum sagt der Rechner, meine drei Zahlen ergäben kein Dreieck?

Weil eine der drei Zahlen mindestens so groß ist wie die beiden anderen zusammen. Bei 1, 2 und 5 reichen die kurzen Seiten nicht bis zum Ende der langen, die Figur schließt sich nicht. Auch der Grenzfall 2, 3, 5 wird abgelehnt: Dort liegen alle Punkte auf einer Geraden und die Fläche wäre null. Messen Sie zuerst die längste Seite nach.

In welcher Einheit muss ich die Seiten eingeben?

In einer beliebigen, solange alle drei Seiten dieselbe haben. Der Rechner arbeitet mit reinen Zahlen: Geben Sie Zentimeter ein, steht der Umfang in Zentimetern, die Fläche in Quadratzentimetern und die Höhen wieder in Zentimetern. Die Winkel werden immer in Grad ausgegeben, unabhängig von der Längeneinheit.

Kann ich damit prüfen, ob eine Ecke rechtwinklig ist?

Ja, aber lesen Sie den Winkel ab, nicht das Etikett. Messen Sie die beiden Kanten und die Diagonale zwischen ihren Enden, geben Sie die Kanten als a und b ein und die Diagonale als c – dann ist γ der Winkel in der Ecke. Rechtwinklig steht nur bei einem exakt passenden Zahlentripel da: Ein halber Zentimeter Fehler auf zwei Metern verschiebt γ schon um rund 0,2 Grad.

Wie groß ist die Fläche eines Dreiecks mit den Seiten 3, 4 und 5?

6 Flächeneinheiten. Das Dreieck ist rechtwinklig, deshalb ist die Fläche auch das halbe Produkt der beiden kurzen Seiten.

Kann ich aus drei Winkeln die Fläche bestimmen?

Nein. Winkel legen nur die Form fest; jedes ähnliche Dreieck hat dieselben Winkel bei beliebiger Größe. Mindestens eine Seite muss bekannt sein.

Welche Seitenlängen ergeben überhaupt ein Dreieck?

Nur solche, bei denen jede Seite kürzer ist als die Summe der beiden anderen. 3, 4 und 9 ergeben kein Dreieck, weil 3 + 4 kleiner als 9 ist.

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