Der Rechner nimmt eine ganze Zahl und listet alle ihre Teiler auf: für 28 sind das 1, 2, 4, 7, 14 und 28. Dazu erhalten Sie die Anzahl der Teiler, ihre Summe, die Primfaktorzerlegung und die Einordnung als vollkommene, abundante oder defiziente Zahl. Die ausgegebene Summe zählt alle Teiler mit, die Zahl selbst eingeschlossen — bei 28 also 56. Erlaubt sind ganze Zahlen ab 1, die Obergrenze liegt bei 10¹², einer Billion.
Durchprobiert wird dabei nichts. Der Rechner zerlegt die Zahl zuerst in Primfaktoren und setzt die Teiler aus dieser Zerlegung zusammen: 28 = 2² · 7, und jede Kombination aus 2⁰, 2¹, 2² mit 7⁰ oder 7¹ ergibt genau einen Teiler — keiner doppelt, keiner fehlt. Deshalb kostet eine Billion nicht eine Billion Schritte. Aus derselben Zerlegung folgt die Teileranzahl direkt: (2+1) · (1+1) = 6, ohne dass ein einziger Teiler notiert werden müsste.
Warum 60 mehr Teiler hat als 97
Die häufigste Fehlannahme ist, dass größere Zahlen mehr Teiler haben. 97 ist eine Primzahl und hat genau zwei Teiler, 1 und 97. Die kleinere 60 hat zwölf: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Noch deutlicher wird es bei 64 — größer als 60, aber nur sieben Teiler, weil 64 = 2⁶ nichts anderes hergibt als Zweierpotenzen. Über die Anzahl entscheidet nicht die Größe, sondern die Form der Primfaktorzerlegung: wie viele verschiedene Primzahlen vorkommen und mit welchen Exponenten.
Die Teileranzahl ist das Produkt der um eins erhöhten Exponenten. 60 = 2² · 3 · 5 ergibt (2+1) · (1+1) · (1+1) = 12, und 96 = 2⁵ · 3 ergibt (5+1) · (1+1) = ebenfalls 12 — zwei völlig verschieden gebaute Zahlen mit gleich vielen Teilern. Mehrere kleine, verschiedene Primfaktoren bringen also mehr Teiler als ein hoher Exponent auf einer einzigen Primzahl. Genau deshalb sind 12 und 60 seit der Antike die Zahlen für Stunden, Minuten und Winkelgrade: sie lassen sich auf viele Arten glatt aufteilen.
Vollkommen, abundant, defizient — und welche Summe zählt
Hier stolpern die meisten über zwei verschiedene Summen. Ausgegeben wird die Summe aller Teiler einschließlich der Zahl selbst; für die Einordnung zählt dagegen nur die Summe der echten Teiler, also ohne die Zahl. Bei 28 steht deshalb 56 im Ergebnis, die echten Teiler 1 + 2 + 4 + 7 + 14 ergeben aber 28 — genau die Zahl selbst, also vollkommen. Bei 12 ist die Teilersumme 28, die echten Teiler ergeben 16 und damit mehr als 12: abundant. Bei 8 ergeben 1 + 2 + 4 nur 7, weniger als 8: defizient.
Vollkommene Zahlen sind selten. Die ersten vier sind 6, 28, 496 und 8128, und bis heute kennt man 52 Stück — alle gerade. Ob es eine ungerade vollkommene Zahl gibt, ist offen: Gefunden hat sie niemand, ausgeschlossen ist sie ebenso wenig. Defizient ist dagegen vieles: jede Primzahl, weil ihr einziger echter Teiler die 1 ist, und jede Zweierpotenz, deren echte Teiler immer um genau eins zu kurz kommen — bei 64 sind es 63. Abundante Zahlen treten dort auf, wo mehrere kleine Primfaktoren zusammenkommen, etwa bei 12, 18 oder 60.
Die Eins, die Grenze bei 10¹² und lange Teilerlisten
Die Eins ist keine Primzahl, und das ist kein Formalismus: Eine Primzahl hat genau zwei Teiler, die Eins hat nur einen. Entsprechend liefert der Rechner für 1 einen Teiler, die Summe 1 und eine leere Primfaktorzerlegung — es gibt schlicht nichts zu zerlegen. Die echten Teiler summieren sich zu null, damit gilt die Eins als defizient. Null und negative Zahlen nimmt der Rechner nicht an: Bei null wäre jede Zahl ein Teiler, und bei negativen Zahlen hängt es von der Konvention ab, ob die negativen Teiler mitzählen. Eingegeben wird also eine ganze Zahl ab 1.
Nach oben endet die Rechnung bei 10¹², einer Billion. Zerlegt wird über Probedivision bis zur Wurzel, wobei außer der 2 nur ungerade Zahlen geprüft werden: im ungünstigsten Fall, einer großen Primzahl, rund eine halbe Million Divisionen; darüber wäre die Wartezeit spürbar. Die zweite Grenze betrifft nur die Anzeige: Das Produkt der ersten zehn Primzahlen, 6 469 693 230, hat 2¹⁰ = 1024 Teiler, weil jeder Primfaktor genau einmal vorkommt. So lange Listen werden nach 200 Einträgen abgeschnitten, Anzahl, Summe und Zerlegung bleiben vollständig. Folgen zu Teileranzahl und Teilersumme sammelt die Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen, die zahlentheoretischen Funktionen beschreibt die Digitale Bibliothek mathematischer Funktionen des NIST.