Der Z-Wert sagt, wie viele Standardabweichungen ein Messwert über oder unter dem Mittelwert liegt. Der Rechner braucht dafür drei Zahlen: den Wert selbst, den Mittelwert der Vergleichsgruppe und deren Standardabweichung. Aus 185 cm bei einem Mittel von 178 cm und einer Standardabweichung von 7 cm wird ein Z-Wert von genau 1 – die Person liegt eine Standardabweichung über dem Durchschnitt. Ausgegeben werden außerdem der Anteil der Gruppe darunter, der Anteil darüber und eine kurze Einordnung.
Der eigentliche Nutzen liegt nicht in der einzelnen Zahl, sondern darin, dass sie Einheiten wegräumt. Zentimeter, Punkte einer Klausur und Sekunden über 100 Meter lassen sich nicht direkt vergleichen – Z-Werte schon, denn sie rechnen alle in derselben Währung: Abstand vom Mittelwert, gemessen in Streuung. Wer in Mathematik einen Z-Wert von 1,2 erreicht und in Deutsch einen von 0,4, ist in Mathematik relativ stärker, auch wenn die Punktzahl in Deutsch höher aussieht.
Was 68, 95 und 99,7 Prozent tatsächlich bedeuten
Die bekannte Faustregel ist im Grunde eine Tabelle mit drei Zeilen: Innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert liegen rund 68 Prozent aller Werte, innerhalb von zwei rund 95 Prozent, innerhalb von drei rund 99,7 Prozent. Genau das steht hinter dem Feld für den zweiseitigen Anteil, nur von der anderen Seite betrachtet: Bei einem Z-Wert von 1 bleiben etwa 32 Prozent übrig, bei 2 noch rund 4,6 Prozent, bei 3 nur noch etwa 0,3 Prozent, die mindestens so weit vom Mittelwert entfernt sind.
Der häufigste Fehler an dieser Stelle ist die Verwechslung von ein- und zweiseitig. Der Anteil darüber zählt nur eine Richtung: Bei einem Z-Wert von 2 sind das rund 2,3 Prozent. Der zweiseitige Anteil zählt beide Enden und fällt deshalb doppelt so hoch aus. Wer in einem Bericht von „zwei Sigma“ liest, sollte also wissen, welche der beiden Zahlen gemeint war – sonst wird aus einem Ergebnis, das in gut vier von hundert Fällen auch ohne besonderen Grund auftritt, ein scheinbar seltenes Ereignis.
Das Perzentil gilt nur bei annähernd normaler Verteilung
Z-Wert und Perzentil sind zwei verschiedene Dinge, und zwischen ihnen steht eine Annahme. Der Z-Wert ist reine Arithmetik: Abstand geteilt durch Streuung, das gilt für jede Datenreihe, wie sie auch verteilt sein mag. Das Perzentil entsteht dagegen erst, indem der Rechner den Z-Wert in die Standardnormalverteilung einsetzt. Ist die Verteilung schief, bleibt der Z-Wert richtig – das Perzentil daneben. Der Rechner kann das nicht prüfen, weil er nur drei Zahlen sieht und nicht die Daten dahinter.
Einkommen ist das Lehrbuchbeispiel: Wenige sehr hohe Werte ziehen den Mittelwert nach oben, während die Mehrheit darunter bleibt. Ein Einkommen genau auf dem Mittelwert hat dort den Z-Wert 0, liegt aber keineswegs in der Mitte der Bevölkerung – deutlich mehr als die Hälfte verdient weniger. Ähnlich verhält es sich mit Wartezeiten, Dateigrößen oder Schadenshöhen. Wer solche Daten einordnen will, greift besser zum Median und zu Quantilen, die direkt aus den Daten stammen. Ein Histogramm vorab kostet wenig und verhindert genau diesen Fehler.
Vorzeichen, Nullstreuung und wann der Rechner abbricht
Ein negativer Z-Wert bedeutet genau eines: Der Wert liegt unter dem Mittelwert. Ob das gut oder schlecht ist, entscheidet die Sache und nicht die Rechnung. Bei einer Laufzeit über zehn Kilometer ist −1,5 eine erfreuliche Nachricht, bei einer Prüfungsnote eher nicht. Der Rechner bewertet deshalb nicht, sondern beschreibt die Lage: Die Einordnung nennt Richtung und Abstand, mehr steckt nicht dahinter. Auch der Anteil darunter ist keine Note, sondern schlicht der Teil der Gruppe, der niedriger liegt.
Eine Standardabweichung von null oder darunter lehnt der Rechner ab. Das ist keine Schikane: Sind alle Werte gleich, gibt es keine Streuung, durch die sich der Abstand teilen ließe – der Z-Wert ist dann nicht definiert. In der Praxis steckt dahinter fast immer ein anderer Fehler, etwa eine Spalte mit nur einem einzigen Messwert oder eine Varianz, die versehentlich als Standardabweichung eingetragen wurde. Wer die Definitionen nachlesen möchte, findet sie im NIST/SEMATECH-Handbuch der statistischen Methoden und bei der American Statistical Association.