Matrix-Rechner

VonOleh Soloninaktualisiert 25. September 2026

Ergebnis

2 × 2, Determinante −2. Die Inverse steht unten.

Determinante

−2

Spur

Transponierte Matrix

1 3 | 2 4

Inverse Matrix

−2 1 | 1,5 −0,5

Format der Matrix

2 × 2, quadratisch

Rechenweg der Determinante

1 · 4 − 2 · 3 = −2

Das Ergebnis ist ein Richtwert und ersetzt keine Beratung.

Determinante, Spur, Transponierte und Inverse für Matrizen bis 8×8 — Werte durch Leerzeichen oder Semikolon getrennt.

Der Matrix-Rechner nimmt eine Matrix so, wie man sie auf Papier schreibt: eine Textzeile je Matrixzeile, die Werte darin durch Leerzeichen oder Semikolon getrennt. Zurück kommen das Format, die Determinante, die Spur, die Transponierte und — falls sie existiert — die Inverse. Quadratisch muss die Eingabe dafür nicht sein: Transponieren lässt sich jede Matrix, Determinante und Spur gibt es dagegen nur, wenn Zeilen- und Spaltenzahl übereinstimmen. Die Größe ist auf 8 Zeilen und 8 Spalten begrenzt.

Eine Falle steckt gleich in der Eingabe: Das Komma trennt hier keine Werte, sondern Nachkommastellen. „1,5 2“ ist eine Zeile mit zwei Zahlen — eineinhalb und zwei —, nicht mit dreien. Wer die Werte nach englischem Vorbild mit Komma auflistet, bekommt deshalb entweder falsche Zahlen — „1,2 3,4“ sind hier zwei Werte, nicht vier — oder eine Eingabe, die der Rechner ablehnt, weil „1,2,3“ für ihn keine Zahl mehr ist. Getrennt wird mit Leerzeichen oder Semikolon, und jede Zeile muss gleich viele Werte enthalten.

So benutzen Sie den Rechner

Tragen Sie die Matrix zeilenweise ein: eine Textzeile je Matrixzeile, die Werte darin durch Leerzeichen oder Semikolon getrennt.
Das Komma ist das Dezimaltrennzeichen — „1,5 2“ sind zwei Zahlen, nicht vier. Gerechnet wird bis acht Zeilen und acht Spalten.
Lesen Sie zuerst die Determinante: Ist sie null, gibt es keine Inverse, und das Gleichungssystem hinter der Matrix hat keine eindeutige Lösung.

Sechs Matrizen und was der Rechner aus ihnen liest

Die Determinante ist die erste Zahl, auf die es ankommt. Ist sie ungleich null, existiert eine Inverse und das zugehörige Gleichungssystem hat genau eine Lösung. Ist sie null, gibt es keine Inverse — dann hat das System entweder keine Lösung oder unendlich viele.

Die Spur, also die Summe der Hauptdiagonale, ist unabhängig davon immer berechenbar, solange die Matrix quadratisch ist. Bei nicht quadratischen Matrizen fallen Determinante, Spur und Inverse weg; transponieren lässt sich dagegen jede Matrix, dabei wird aus 2 × 3 eine 3 × 2.

Alle Zeilen stammen aus dem Rechner dieser Seite. Die dritte erklärt, warum die Determinante zuerst gelesen wird: Ihre zweite Zeile ist das Doppelte der ersten, deshalb ist die Determinante null und eine Inverse existiert nicht.
Matrix	Format	Determinante	Spur	Inverse
1 2 / 3 4	2 × 2	−2	5	ja
2 0 / 0 2	2 × 2	4	4	ja — 0,5 0 / 0 0,5
1 2 / 2 4	2 × 2	0	5	keine
3 1 / 2 4	2 × 2	10	7	ja — 0,4 −0,1 / −0,2 0,3
2 1 0 / 1 3 1 / 0 1 2	3 × 3	8	7	ja
1 2 3 / 4 5 6	2 × 3	entfällt	entfällt	keine

Die Eingabe: Zeilen, Trennzeichen, Komma

Jede Textzeile wird zu einer Matrixzeile, leere Zeilen werden übersprungen. Innerhalb der Zeile zählen Leerzeichen und Semikolon als Trennung, beliebig viele hintereinander: „1 2“, „1 2“ und „1;2“ ergeben dieselbe Zeile. Das Komma dagegen bleibt Dezimalzeichen, weil es das im deutschen Zahlenformat nun einmal ist — 0,25 bleibt ein Viertel und wird nicht zu einer Null und einer 25. Wer eine Tabelle aus einer CSV-Datei kopiert, stellt die Spaltentrennung deshalb besser vorher auf Semikolon oder Leerzeichen um.

Alle Zeilen müssen gleich viele Werte haben. Eine Matrix mit drei Werten in der ersten und zwei in der zweiten Zeile gibt es nicht, und der Rechner rät nicht, wo die fehlende Zahl hingehört — er lehnt die Eingabe ab. Dasselbe passiert, wenn ein Wert keine Zahl ist; ein aus der Zwischenablage mitgekommener Buchstabe oder ein Gedankenstrich statt eines Minuszeichens reicht dafür. Die Obergrenze liegt bei 8 Zeilen und 8 Spalten: Größeres rechnet ohnehin niemand mehr von Hand nach, und genau das Nachrechnen ist der Zweck dieser Seite.

Determinante null heißt: keine Inverse

Ist die Determinante null, gibt es keine Inverse — keine ungenaue, keine mit sehr großen Zahlen, sondern gar keine. Der Rechner lässt das Feld dann leer, statt eine Scheinlösung auszugeben. Für ein Gleichungssystem mit dieser Matrix heißt das: Es hat entweder keine Lösung oder unendlich viele. Welcher der beiden Fälle vorliegt, entscheidet die rechte Seite des Systems, nicht die Matrix allein. Null wird die Determinante immer dann, wenn eine Zeile sich aus den übrigen zusammensetzen lässt, etwa als Vielfaches oder als Summe zweier anderer.

Anschaulich sagt die Determinante, wie stark die zugehörige Abbildung Flächen und Volumen verändert: Ihr Betrag ist der Faktor, um den ein Einheitsquadrat oder ein Einheitswürfel wächst oder schrumpft. Null bedeutet dann, dass das Bild in einen Raum kleinerer Dimension fällt — in drei Dimensionen etwa auf eine Ebene, eine Gerade oder einen Punkt; mindestens eine Dimension geht verloren, und das lässt sich nicht zurückdrehen. Genau deshalb existiert keine Inverse. Das Vorzeichen trägt die zweite Information: Ein negativer Wert heißt, dass die Orientierung umklappt. Die Spur ist demgegenüber schlicht die Summe der Werte auf der Hauptdiagonalen.

Gauß mit Pivotsuche statt Regel von Sarrus

Die Determinante entsteht hier durch Gauß-Elimination mit Pivotsuche, nicht über die Regel von Sarrus. Dafür gibt es zwei Gründe. Sarrus ist nur für 3×3-Matrizen definiert, und der Versuch, das Schema auf eine 4×4-Matrix auszudehnen, gehört zu den häufigsten Fehlern überhaupt — herauskommen kann dabei alles Mögliche, nur nicht die Determinante. Der zweite Grund ist die Genauigkeit: Vor jedem Eliminationsschritt wird die Zeile mit dem betragsgrößten Element nach oben getauscht, damit nicht durch eine fast verschwindende Zahl geteilt wird.

Jeder solche Zeilentausch dreht das Vorzeichen der Determinante um; das ist im ausgegebenen Wert bereits berücksichtigt. Weil in Gleitkommazahlen gerechnet wird, kann ein Ergebnis, das exakt null sein müsste, als winziger Rest herauskommen — solche Werte gelten als null, und eine Inverse wird dann nicht ausgegeben. Bei nicht quadratischen Matrizen bleiben Determinante und Spur ohnehin leer, weil beide nur für gleich viele Zeilen und Spalten definiert sind; die Transponierte gibt es trotzdem. Nachlesen lässt sich das bei LAPACK — Paket für lineare Algebra — und in der Digitalen Bibliothek mathematischer Funktionen des NIST.

Quellen

Stand der Werte: 2026. Die Ergebnisse sind Orientierungswerte und ersetzen keine fachliche Beratung.

Häufige Fragen

Warum wird keine Inverse angezeigt, obwohl die Matrix quadratisch ist?

Dann ist die Determinante null, oder ein Pivot fällt bei der Elimination unter die numerische Toleranz des Rechners, ein Billionstel des betragsgrößten Eintrags. Ist sie mathematisch null, heißt die Matrix singulär und hat keine Inverse; unterschreitet sie nur die Toleranz, kann der Rechner die Invertierbarkeit nicht sicher entscheiden. Meist steckt dahinter eine Zeile, die ein Vielfaches einer anderen ist oder sich als Summe zweier Zeilen ergibt. Prüfen Sie die Zeilen darauf, bevor Sie an den eingegebenen Zahlen zweifeln.

Darf ich Dezimalzahlen mit Komma eingeben?

Ja, das Komma ist hier das Dezimalzeichen: 0,5 wird als eine halbe Einheit gelesen. Genau deshalb taugt es nicht zum Trennen der Werte. Schreiben Sie „0,5 1,25“ mit Leerzeichen oder „0,5;1,25“ mit Semikolon. Ein Punkt als Dezimalzeichen wird ebenfalls verstanden, „0.5 1.25“ ergibt dieselbe Zeile.

Wieso zeigt der Rechner bei meiner 2×3-Matrix weder Determinante noch Spur?

Weil beide nur für quadratische Matrizen definiert sind. Bei zwei Zeilen und drei Spalten gibt es keine vollständige Hauptdiagonale und keine Determinante, daran ändert kein Rechner etwas. Was Sie trotzdem bekommen, sind das Format und die Transponierte: Aus der 2×3-Matrix wird eine 3×2-Matrix mit vertauschten Zeilen und Spalten.

Was sagt eine Determinante von null aus?

Dass die Zeilen voneinander abhängen — eine lässt sich aus den anderen zusammensetzen. Für das Gleichungssystem hinter der Matrix heißt das: keine eindeutige Lösung, sondern entweder keine oder unendlich viele. Bei 1 2 / 2 4 ist die zweite Zeile genau das Doppelte der ersten.

Wie trage ich Kommazahlen ein?

Mit Komma als Dezimaltrennzeichen und Leerzeichen oder Semikolon zwischen den Werten: „1,5 2“ ist eine Zeile mit zwei Zahlen. Ein Punkt wird ebenfalls als Dezimalzeichen gelesen, „1.5 2“ ergibt dieselbe Zeile — Tausenderpunkte dürfen deshalb nicht stehen: „1.000“ liest der Rechner als 1.

Warum hat eine 2 × 3-Matrix keine Determinante?

Weil die Determinante beschreibt, wie eine Abbildung Flächen oder Volumen verändert, und das nur dann eine Zahl ergibt, wenn Ausgangs- und Zielraum gleich viele Dimensionen haben. Eine 2 × 3-Matrix bildet den dreidimensionalen Raum in die Ebene ab; transponieren lässt sie sich trotzdem, daraus wird eine 3 × 2-Matrix.

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