Der Matrix-Rechner nimmt eine Matrix so, wie man sie auf Papier schreibt: eine Textzeile je Matrixzeile, die Werte darin durch Leerzeichen oder Semikolon getrennt. Zurück kommen das Format, die Determinante, die Spur, die Transponierte und — falls sie existiert — die Inverse. Quadratisch muss die Eingabe dafür nicht sein: Transponieren lässt sich jede Matrix, Determinante und Spur gibt es dagegen nur, wenn Zeilen- und Spaltenzahl übereinstimmen. Die Größe ist auf 8 Zeilen und 8 Spalten begrenzt.
Eine Falle steckt gleich in der Eingabe: Das Komma trennt hier keine Werte, sondern Nachkommastellen. „1,5 2“ ist eine Zeile mit zwei Zahlen — eineinhalb und zwei —, nicht mit dreien. Wer die Werte nach englischem Vorbild mit Komma auflistet, bekommt deshalb entweder falsche Zahlen — „1,2 3,4“ sind hier zwei Werte, nicht vier — oder eine Eingabe, die der Rechner ablehnt, weil „1,2,3“ für ihn keine Zahl mehr ist. Getrennt wird mit Leerzeichen oder Semikolon, und jede Zeile muss gleich viele Werte enthalten.
Die Eingabe: Zeilen, Trennzeichen, Komma
Jede Textzeile wird zu einer Matrixzeile, leere Zeilen werden übersprungen. Innerhalb der Zeile zählen Leerzeichen und Semikolon als Trennung, beliebig viele hintereinander: „1 2“, „1 2“ und „1;2“ ergeben dieselbe Zeile. Das Komma dagegen bleibt Dezimalzeichen, weil es das im deutschen Zahlenformat nun einmal ist — 0,25 bleibt ein Viertel und wird nicht zu einer Null und einer 25. Wer eine Tabelle aus einer CSV-Datei kopiert, stellt die Spaltentrennung deshalb besser vorher auf Semikolon oder Leerzeichen um.
Alle Zeilen müssen gleich viele Werte haben. Eine Matrix mit drei Werten in der ersten und zwei in der zweiten Zeile gibt es nicht, und der Rechner rät nicht, wo die fehlende Zahl hingehört — er lehnt die Eingabe ab. Dasselbe passiert, wenn ein Wert keine Zahl ist; ein aus der Zwischenablage mitgekommener Buchstabe oder ein Gedankenstrich statt eines Minuszeichens reicht dafür. Die Obergrenze liegt bei 8 Zeilen und 8 Spalten: Größeres rechnet ohnehin niemand mehr von Hand nach, und genau das Nachrechnen ist der Zweck dieser Seite.
Determinante null heißt: keine Inverse
Ist die Determinante null, gibt es keine Inverse — keine ungenaue, keine mit sehr großen Zahlen, sondern gar keine. Der Rechner lässt das Feld dann leer, statt eine Scheinlösung auszugeben. Für ein Gleichungssystem mit dieser Matrix heißt das: Es hat entweder keine Lösung oder unendlich viele. Welcher der beiden Fälle vorliegt, entscheidet die rechte Seite des Systems, nicht die Matrix allein. Null wird die Determinante immer dann, wenn eine Zeile sich aus den übrigen zusammensetzen lässt, etwa als Vielfaches oder als Summe zweier anderer.
Anschaulich sagt die Determinante, wie stark die zugehörige Abbildung Flächen und Volumen verändert: Ihr Betrag ist der Faktor, um den ein Einheitsquadrat oder ein Einheitswürfel wächst oder schrumpft. Null bedeutet dann, dass alles auf eine Gerade oder einen Punkt zusammenfällt — eine Dimension geht verloren, und das lässt sich nicht zurückdrehen. Genau deshalb existiert keine Inverse. Das Vorzeichen trägt die zweite Information: Ein negativer Wert heißt, dass die Orientierung umklappt. Die Spur ist demgegenüber schlicht die Summe der Werte auf der Hauptdiagonalen.
Gauß mit Pivotsuche statt Regel von Sarrus
Die Determinante entsteht hier durch Gauß-Elimination mit Pivotsuche, nicht über die Regel von Sarrus. Dafür gibt es zwei Gründe. Sarrus ist nur für 3×3-Matrizen definiert, und der Versuch, das Schema auf eine 4×4-Matrix auszudehnen, gehört zu den häufigsten Fehlern überhaupt — herauskommen kann dabei alles Mögliche, nur nicht die Determinante. Der zweite Grund ist die Genauigkeit: Vor jedem Eliminationsschritt wird die Zeile mit dem betragsgrößten Element nach oben getauscht, damit nicht durch eine fast verschwindende Zahl geteilt wird.
Jeder solche Zeilentausch dreht das Vorzeichen der Determinante um; das ist im ausgegebenen Wert bereits berücksichtigt. Weil in Gleitkommazahlen gerechnet wird, kann ein Ergebnis, das exakt null sein müsste, als winziger Rest herauskommen — solche Werte gelten als null, und eine Inverse wird dann nicht ausgegeben. Bei nicht quadratischen Matrizen bleiben Determinante und Spur ohnehin leer, weil beide nur für gleich viele Zeilen und Spalten definiert sind; die Transponierte gibt es trotzdem. Nachlesen lässt sich das bei LAPACK — Paket für lineare Algebra — und in der Digitalen Bibliothek mathematischer Funktionen des NIST.